Travail d'une force : \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = ||\vec{F}|| \times ||\vec{d}|| \times \cos(\theta)\) où \(\theta\) est l'angle entre la force et le déplacement.
- Identifier la force \(\vec{F}\), le déplacement \(\vec{d}\) et l'angle \(\theta\) entre eux
- Appliquer la formule du travail : \(W = F \times d \times \cos(\theta)\)
- Calculer la valeur du cosinus de l'angle
- Effectuer le produit pour obtenir le travail en joules
Force : \(F = 10\) N, déplacement : \(d = 5\) m, angle : \(\theta = 30°\)
\(W = F \times d \times \cos(\theta)\)
\(W = 10 \times 5 \times \cos(30°)\)
\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(W = 10 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}\)
\(W = 25\sqrt{3} \approx 25 \times 1.732 \approx 43.3\) J
Le travail effectué par la force est de \(25\sqrt{3}\) joules, soit environ 43.3 J.
• Formule du travail : \(W = F \times d \times \cos(\theta)\)
• Valeur exacte : \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• Unité : Le travail s'exprime en joules (J)
Puissance mécanique : \(P = \vec{F} \cdot \vec{v} = ||\vec{F}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\) où \(\theta\) est l'angle entre la force et la vitesse.
Force : \(F = 15\) N, vitesse : \(v = 4\) m/s, angle : \(\theta = 60°\)
\(P = F \times v \times \cos(\theta)\)
\(P = 15 \times 4 \times \cos(60°)\)
\(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)
\(P = 15 \times 4 \times \frac{1}{2} = 60 \times \frac{1}{2} = 30\)
La puissance s'exprime en watts (W)
La puissance développée par la force est de 30 watts.
• Formule de la puissance : \(P = F \times v \times \cos(\theta)\)
• Valeur exacte : \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)
• Unité : La puissance s'exprime en watts (W)
Forces orthogonales : Lorsque deux forces sont perpendiculaires, la résultante a pour norme \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\) et forme un angle \(\alpha\) avec \(F_1\) tel que \(\tan(\alpha) = \frac{F_2}{F_1}\).
\(F_1 = 8\) N, \(F_2 = 6\) N, les forces sont orthogonales
\(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) N
\(\tan(\alpha) = \frac{F_2}{F_1} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
\(\alpha = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87°\)
\(\vec{R} \cdot \vec{F_1} = R \times F_1 \times \cos(\alpha) = 10 \times 8 \times \cos(36.87°) = 80 \times 0.8 = 64\)
\(\vec{R} \cdot \vec{F_1} = 8^2 = 64\) ✓
L'angle entre la résultante et la force de 8 N est d'environ 36.87°.
• Résultante orthogonale : \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\)
• Angle avec une composante : \(\tan(\alpha) = \frac{F_2}{F_1}\)
• Produit scalaire : \(\vec{R} \cdot \vec{F_1} = R \times F_1 \times \cos(\alpha)\)
Produit scalaire avec coordonnées : Pour \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\), \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\).
\(\vec{d} = \overrightarrow{AB} = B - A = (4,6) - (1,2) = (3,4)\)
\(\vec{F} = (3,4)\)
\(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 3 \times 3 + 4 \times 4 = 9 + 16 = 25\)
Le travail s'exprime en joules (J)
\(||\vec{F}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\), \(||\vec{d}|| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
\(\cos(\theta) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{||\vec{F}|| \times ||\vec{d}||} = \frac{25}{5 \times 5} = 1\), donc \(\theta = 0°\)
\(W = 5 \times 5 \times 1 = 25\) ✓
Le travail effectué par la force \(\vec{F}(3,4)\) sur le déplacement \(\overrightarrow{AB}\) est de 25 joules.
• Vecteur déplacement : \(\overrightarrow{AB} = B - A\)
• Produit scalaire : \(\vec{F} \cdot \vec{d} = x_Fx_d + y_Fy_d\)
• Unité : Le travail s'exprime en joules (J)
Loi de Lambert : L'intensité lumineuse reçue par une surface est proportionnelle à \(\cos(\theta)\) où \(\theta\) est l'angle d'incidence.
Soit \(I_0\) l'intensité lumineuse incidente, l'intensité reçue par la surface est : \(I = I_0 \cos(\theta)\)
Cela correspond à un produit scalaire entre le vecteur rayonnement et le vecteur normal à la surface.
Si \(\vec{n}\) est le vecteur normal unitaire à la surface et \(\vec{r}\) le vecteur rayonnement unitaire, alors :
\(I = I_0 (\vec{n} \cdot \vec{r}) = I_0 \cos(\theta)\)
- Si \(\theta = 0°\) (rayons perpendiculaires à la surface) : \(I = I_0 \cos(0°) = I_0\) (intensité maximale)
- Si \(\theta = 90°\) (rayons parallèles à la surface) : \(I = I_0 \cos(90°) = 0\) (aucune lumière reçue)
Si \(\theta = 30°\) et \(I_0 = 1000\) W/m², alors :
\(I = 1000 \times \cos(30°) = 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3} \approx 866\) W/m²
Le modèle montre que l'intensité lumineuse varie selon le cosinus de l'angle d'incidence.
L'intensité lumineuse reçue par une surface plane est modélisée par \(I = I_0 \cos(\theta)\), où \(\theta\) est l'angle d'incidence.
• Loi de Lambert : \(I = I_0 \cos(\theta)\)
• Produit scalaire : \(\vec{n} \cdot \vec{r} = \cos(\theta)\)
• Applications : Panneaux solaires, éclairage, thermique
- Travail : \(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos(\theta)\)
- Puissance : \(P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv\cos(\theta)\)
- Avec coordonnées : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
- Résultante orthogonale : \(R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\)
- Modélisation : Utiliser le cosinus pour les variations angulaires
- Le travail est positif si la force favorise le mouvement, négatif sinon
- Le travail est nul si la force est perpendiculaire au déplacement
- La puissance est le taux de transfert d'énergie par unité de temps
- Le produit scalaire permet de modéliser de nombreux phénomènes physiques
- La loi de Lambert explique l'efficacité des panneaux solaires selon l'orientation
