Théorème d'Al-Kashi : Dans un triangle ABC, \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})\) où a = BC, b = AC, c = AB.
- Identifier les côtés et l'angle connus
- Appliquer la formule d'Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})\)
- Substituer les valeurs connues
- Calculer la valeur de \(a^2\)
- Extraire la racine carrée pour obtenir a = BC
AB = c = 5, AC = b = 7, \(\widehat{A} = 60°\)
On cherche BC = a
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})\)
\(a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos(60°)\)
\(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)
\(a^2 = 49 + 25 - 2 \times 7 \times 5 \times \frac{1}{2}\)
\(a^2 = 74 - 35 = 39\)
\(BC = a = \sqrt{39} \approx 6.24\)
La longueur BC est égale à \(\sqrt{39}\) unités.
• Théorème d'Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})\)
• Valeur exacte : \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)
• Calcul : Suivre l'ordre des opérations avec soin
Formule d'Al-Kashi inversée : Pour calculer un angle, on utilise : \(\cos(\widehat{B}) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\).
AB = c = 6, BC = a = 8, AC = b = 10
On cherche \(\widehat{B}\)
\(\cos(\widehat{B}) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)
\(\cos(\widehat{B}) = \frac{8^2 + 6^2 - 10^2}{2 \times 8 \times 6}\)
\(8^2 + 6^2 - 10^2 = 64 + 36 - 100 = 0\)
\(\cos(\widehat{B}) = \frac{0}{96} = 0\)
\(\widehat{B} = \arccos(0) = 90°\)
L'angle \(\widehat{B}\) mesure 90°. Le triangle est rectangle en B.
• Formule inversée : \(\cos(\widehat{B}) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)
• Triangle rectangle : Cosinus nul implique angle droit
• Vérification : \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\) ✓
Aire d'un triangle : \(\mathcal{A} = \frac{1}{2}bc\sin(\widehat{A})\) où b et c sont deux côtés et \(\widehat{A}\) l'angle entre ces côtés.
AB = c = 4, AC = b = 6, \(\widehat{A} = 45°\)
\(\mathcal{A} = \frac{1}{2}bc\sin(\widehat{A})\)
\(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \sin(45°)\)
\(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\mathcal{A} = \frac{24\sqrt{2}}{4} = 6\sqrt{2}\)
\(\mathcal{A} = 6\sqrt{2} \approx 6 \times 1.414 \approx 8.48\)
L'aire du triangle ABC est égale à \(6\sqrt{2}\) unités carrées.
• Formule de l'aire : \(\mathcal{A} = \frac{1}{2}bc\sin(\widehat{A})\)
• Valeur exacte : \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• Calcul : Simplifier les fractions pour obtenir la forme exacte
Théorème de la médiane : Pour un point M et un segment [AB] de milieu I, on a : \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}\).
AB = 6, MA = 7, MB = 5, I milieu de [AB]
Donc \(AB^2 = 36\), \(MA^2 = 49\), \(MB^2 = 25\)
\(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}\)
\(49 + 25 = 2MI^2 + \frac{36}{2}\)
\(49 + 25 = 74\)
\(\frac{36}{2} = 18\)
\(74 = 2MI^2 + 18\)
\(2MI^2 = 74 - 18 = 56\)
\(MI^2 = 28\)
\(MI = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}\)
La distance MI est égale à \(2\sqrt{7}\) unités.
• Théorème de la médiane : \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}\)
• Simplification : \(\sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)
• Calcul : Isoler \(MI^2\) dans l'équation
Théorème de Pythagore : Un triangle est rectangle si et seulement si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
AB = 3, BC = 4, AC = 5
Le plus grand côté est AC = 5
\(AB^2 = 3^2 = 9\)
\(BC^2 = 4^2 = 16\)
\(AC^2 = 5^2 = 25\)
\(AB^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25\)
\(AC^2 = 25\)
Comme \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), le triangle est rectangle en B.
On peut aussi utiliser Al-Kashi pour vérifier que \(\widehat{B} = 90°\)
\(\cos(\widehat{B}) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{9 + 16 - 25}{2 \times 3 \times 4} = \frac{0}{24} = 0\)
Oui, le triangle ABC est rectangle en B car il vérifie le théorème de Pythagore : \(3^2 + 4^2 = 5^2\).
• Théorème de Pythagore : \(a^2 + b^2 = c^2\) pour triangle rectangle
• Vérification : Utiliser Al-Kashi pour confirmer l'angle droit
• Identification : Le plus grand côté est l'hypoténuse potentielle
- Calcul de côté : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\widehat{A})\)
- Calcul d'angle : \(\cos(\widehat{A}) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)
- Aire d'un triangle : \(\mathcal{A} = \frac{1}{2}bc\sin(\widehat{A})\)
- Théorème de la médiane : \(MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}\)
- Triangle rectangle : Vérifier si \(a^2 + b^2 = c^2\)
- Le théorème d'Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore à tous les triangles
- Quand l'angle est droit, Al-Kashi devient le théorème de Pythagore
- Le théorème de la médiane relie les distances d'un point aux extrémités d'un segment
- L'aire d'un triangle peut s'exprimer avec deux côtés et le sinus de l'angle entre eux
- Le cosinus d'un angle dans un triangle est toujours compris entre -1 et 1
