Applications du Produit Scalaire aux Triangles - Cours Complet

On part de la relation : \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \)

En élevant au carré : \( ||\overrightarrow{BC}||^2 = ||\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}||^2 \)

Donc : \( a^2 = ||\overrightarrow{AC}||^2 + ||\overrightarrow{AB}||^2 - 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} \)

Or : \( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = ||\overrightarrow{AC}|| \times ||\overrightarrow{AB}|| \times \cos(\widehat{BAC}) = bc\cos(\alpha) \)

Finalement : \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha) \)

Soit ABC un triangle et I le milieu du segment [BC]. Alors :

Deuxième forme équivalente :

On utilise la relation de Chasles : \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} \) et \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC} \)

Donc : \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) \cdot (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC}) \)

Comme I est le milieu de [BC], on a \( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0} \) et \( \overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IC} \)

De plus, \( \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} = -||\overrightarrow{IB}||^2 = -\frac{BC^2}{4} \)

On développe : \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AI^2 + \overrightarrow{AI} \cdot (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}) + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} = AI^2 + 0 - \frac{BC^2}{4} \)

La hauteur d'un triangle issue d'un sommet est la distance de ce sommet à la droite opposée.

Soit un triangle ABC et H le pied de la hauteur issue de A sur la droite (BC). Alors :

L'aire peut se calculer avec : \( \text{Aire}(ABC) = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{BAC}) \)

Soit A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C). La hauteur issue de A est la distance de A à la droite (BC).

Équation de la droite (BC) : \( (y_B - y_C)x - (x_B - x_C)y + x_B(y_C - y_B) + y_B(x_B - x_C) = 0 \)

Distance de A à (BC) : \( d(A, (BC)) = \frac{|(y_B - y_C)x_A - (x_B - x_C)y_A + x_B(y_C - y_B) + y_B(x_B - x_C)|}{\sqrt{(y_B - y_C)^2 + (x_C - x_B)^2}} \)

Soit un triangle ABC avec les notations habituelles :

• Formule classique : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
• Avec le produit scalaire : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \sin(\widehat{BAC}) \)
• Avec le déterminant : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} |x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) + x_A(y_B - y_C)| \)

On sait que \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = ||\overrightarrow{AB}|| \times ||\overrightarrow{AC}|| \times \cos(\widehat{BAC}) \)

Et on utilise l'identité \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \), donc \( \sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} \)

Donc : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{BAC}) \)

1 Longueurs des côtés :
2 Aire du triangle :

On utilise la formule avec le déterminant :
\( \text{Aire} = \frac{1}{2}|x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| \)
\( = \frac{1}{2}|1(3-6) + 4(6-2) + 2(2-3)| \)
\( = \frac{1}{2}|1(-3) + 4(4) + 2(-1)| \)
\( = \frac{1}{2}|-3 + 16 - 2| = \frac{11}{2} \)

3 Mesure de l'angle BAC :

On utilise la formule d'Al-Kashi : \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha) \)
Où a = BC = √13, b = AC = √17, c = AB = √10
\( 13 = 17 + 10 - 2\sqrt{17}\sqrt{10}\cos(\widehat{BAC}) \)
\( 13 = 27 - 2\sqrt{170}\cos(\widehat{BAC}) \)
\( \cos(\widehat{BAC}) = \frac{14}{2\sqrt{170}} = \frac{7}{\sqrt{170}} \)
\( \widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{7}{\sqrt{170}}\right) \approx 50.2° \)

4 Hauteur issue de B :

On utilise la formule : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
\( \frac{11}{2} = \frac{1}{2} \times AC \times h_B \)
\( \frac{11}{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times h_B \)
\( h_B = \frac{11}{\sqrt{17}} = \frac{11\sqrt{17}}{17} \)

1 Calcul de BC avec Al-Kashi :
2 Calcul de l'aire :
3 Hauteur issue de A :

On utilise : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
\( \frac{35\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \times BC \times h_A \)
\( h_A = \frac{35\sqrt{3}}{2\sqrt{39}} = \frac{35\sqrt{3}}{2\sqrt{39}} \times \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{39}} = \frac{35\sqrt{117}}{78} = \frac{35 \times 3\sqrt{13}}{78} = \frac{35\sqrt{13}}{26} \)

1 Utilisation du théorème de la médiane :

D'après le théorème de la médiane : \( AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2} \)
\( 4^2 + 6^2 = 2AI^2 + \frac{8^2}{2} \)
\( 16 + 36 = 2AI^2 + 32 \)
\( 52 = 2AI^2 + 32 \)
\( 2AI^2 = 20 \)
\( AI^2 = 10 \)
\( AI = \sqrt{10} \approx 3.16 \)

2 Vérification :

Nous avons : AB² + AC² = 16 + 36 = 52
Et : 2AI² + BC²/2 = 2×10 + 64/2 = 20 + 32 = 52
Donc l'égalité est vérifiée, ce qui confirme le théorème de la médiane.

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Son centre est l'intersection des médiatrices des côtés du triangle.

Le rayon R du cercle circonscrit est lié aux côtés et angles du triangle par la formule des sinus :

On peut aussi calculer le rayon du cercle circonscrit avec la formule :

Où a, b, c sont les longueurs des côtés et S est l'aire du triangle.

Dans un triangle rectangle en A, on a :

• Théorème de Pythagore : \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
• Le cercle circonscrit a pour centre le milieu de l'hypoténuse
• Rayon du cercle circonscrit : \( R = \frac{BC}{2} \)
• Relation entre produit scalaire et angle droit : \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \)

Dans un triangle isocèle en A (AB = AC), on a :

• La médiane issue de A est aussi hauteur, bissectrice et médiatrice
• Les angles à la base sont égaux : \( \widehat{ABC} = \widehat{ACB} \)
• Le centre du cercle circonscrit est sur la médiatrice de [BC]

Dans un triangle équilatéral (AB = BC = CA), on a :

• Tous les angles mesurent 60°
• Centres du cercle circonscrit et inscrit confondus
• Hauteurs, médianes, médiatrices et bissectrices confondues
• Hauteur : \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) où a est la longueur d'un côté

1 Longueurs des côtés :
2 Nature du triangle :

Comme AC = BC = √13, le triangle ABC est isocèle en C.

3 Aire du triangle :

On peut utiliser la formule : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)
La base est AB = 4, la hauteur issue de C est la distance de C à la droite (AB) qui est l'axe des abscisses.
La hauteur est 3, donc : \( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \)

4 Rayon du cercle circonscrit :

On utilise la formule : \( R = \frac{abc}{4S} \)
\( R = \frac{4 \times \sqrt{13} \times \sqrt{13}}{4 \times 6} = \frac{4 \times 13}{24} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6} \approx 2.17 \)

• Formule d'Al-Kashi : \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha) \)
• Théorème de la médiane : \( AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2} \)
• Distance point-droite : \( d(M, (d)) = \frac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
• Aire d'un triangle : \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \)

• Calcul des longueurs inconnues
• Calcul des angles
• Calcul des distances
• Calcul des aires
• Étude des triangles particuliers
• Recherche de centres de cercles