Formules fondamentales
Théorème d'Al-Kashi (Loi des cosinus):
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \)
Formule de la médiane:
\( AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2} \)
\( AB^2 + AC^2 = 2AM^2 + \frac{BC^2}{2} \)
Application :
Triangle ABC avec AB = 3, AC = 4, angle A = 60°
BC² = 3² + 4² - 2×3×4×cos(60°)
BC² = 9 + 16 - 24×0.5 = 13
BC = √13
BC² = 3² + 4² - 2×3×4×cos(60°)
BC² = 9 + 16 - 24×0.5 = 13
BC = √13
Définitions & Propriétés
Produit scalaire: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
Norme d'un vecteur: \(||\vec{AB}|| = AB\)
Relation fondamentale: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(A)\)
Symétrie: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
Calculs dans un triangle
\(AB^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}\)
\(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\)
Formule des sinus: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
Méthodes & Conseils
Identifier les éléments connus avant d'appliquer une formule
Transformer les distances en produits scalaires
Utiliser Al-Kashi quand on connaît 2 côtés et 1 angle
Appliquer la formule de la médiane pour les milieux
Reconnaître un triangle rectangle avec le produit scalaire nul
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier le signe négatif dans Al-Kashi
Erreur 2 :
Confondre angle opposé avec angle adjacent
Erreur 3 :
Calculer le cosinus au lieu du sinus
Erreur 4 :
Ne pas vérifier l'unité des angles
Applications Géométriques
Triangle rectangle: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\)
Calcul d'angles: \(\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \times AC}\)
Calcul de longueurs: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AC}\)
Calcul de distance point-droite
Exemples détaillés
Exemple 1 :
Soit ABC triangle avec AB = 5, AC = 7, angle A = 60°
BC² = 5² + 7² - 2×5×7×cos(60°)
BC² = 25 + 49 - 70×0.5 = 39
BC = √39 ≈ 6.24
BC² = 5² + 7² - 2×5×7×cos(60°)
BC² = 25 + 49 - 70×0.5 = 39
BC = √39 ≈ 6.24
Exemple 2 :
Dans un triangle équilatéral de côté a:
Tous les angles valent 60°
Toutes les hauteurs valent (a√3)/2
Tous les angles valent 60°
Toutes les hauteurs valent (a√3)/2
