Calcul des distances
Distance entre deux points : AB = ||⃗AB||
Distance point-droite : d(A,D) = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
Projection orthogonale : H projeté de A sur (D)
\( d(A,(D)) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
\( \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}}{||\overrightarrow{AB}||^2}\overrightarrow{AB} \)
Exemple 1 - Distance point-droite :
A(2,3), (D): 3x + 4y - 5 = 0
d(A,D) = |3×2 + 4×3 - 5|/√(9+16) = 13/5
d(A,D) = |3×2 + 4×3 - 5|/√(9+16) = 13/5
Exemple 2 - Distance entre points :
A(1,2), B(4,6)
AB = √[(4-1)² + (6-2)²] = √25 = 5
AB = √[(4-1)² + (6-2)²] = √25 = 5
Projections orthogonales
Projection d'un point : H sur droite (D) tq ⃗AH·⃗u = 0
Projection d'un vecteur : ⃗v' = (⃗u·⃗v/||⃗u||²)⃗u
Distance point-droite : d = ||⃗AH|| où H est le projeté
Formules utiles
Projection d'un vecteur ⃗v sur ⃗u : proj⃗u(⃗v) = (⃗u·⃗v/||⃗u||²)⃗u
Distance point-droite : d = |⃗n·⃗AM|/||⃗n|| où ⃗n normal
Théorème de Pythagore : ||⃗v||² = ||proj⃗u(⃗v)||² + ||⃗v - proj⃗u(⃗v)||²
Applications géométriques
Distance point-droite
Calcul de hauteurs
Projections orthogonales
Calcul d'aires
Conseils & Astuces
Toujours vérifier que la droite est sous forme ax+by+c=0
Utiliser le vecteur normal pour les calculs de distance
La projection conserve l'alignement
Appliquer le théorème de Pythagore avec les projections
La projection orthogonale minimise la distance
Exemples complets
Calcul de hauteur :
Triangle ABC, hauteur issue de A
h = d(A,(BC)) = |⃗n·⃗AB|/||⃗n||
où ⃗n est vecteur normal à (BC)
h = d(A,(BC)) = |⃗n·⃗AB|/||⃗n||
où ⃗n est vecteur normal à (BC)
Projection d'un vecteur :
⃗u = (3,4), ⃗v = (2,1)
proj⃗u(⃗v) = (⃗u·⃗v/||⃗u||²)⃗u = (10/25)(3,4) = (6/5, 8/5)
proj⃗u(⃗v) = (⃗u·⃗v/||⃗u||²)⃗u = (10/25)(3,4) = (6/5, 8/5)
Aire d'un triangle :
Aire = ½×base×hauteur
= ½×BC×d(A,(BC))
= ½×BC×d(A,(BC))
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance point-droite
Erreur 2 :
Confondre projection orthogonale et projection sur un axe
Erreur 3 :
Calculer la distance sans s'assurer que la droite est sous forme cartésienne
