Définition de l'angle
Angle orienté : (⃗u,⃗v) mesuré dans le sens trigonométrique
Formule du cosinus : cos(⃗u,⃗v) = (⃗u·⃗v)/(||⃗u||×||⃗v||)
Valeur de l'angle : θ ∈ [0,π] radians ou [0°,180°]
\( \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||} \)
\( \theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}\right) \)
Exemple 1 - Calcul d'angle :
⃗u = (3,0), ⃗v = (2,2)
⃗u·⃗v = 6, ||⃗u|| = 3, ||⃗v|| = 2√2
cos(θ) = 6/(3×2√2) = √2/2
θ = 45°
⃗u·⃗v = 6, ||⃗u|| = 3, ||⃗v|| = 2√2
cos(θ) = 6/(3×2√2) = √2/2
θ = 45°
Exemple 2 - Vecteurs orthogonaux :
⃗u·⃗v = 0 ⇒ cos(θ) = 0 ⇒ θ = 90°
Mesure des angles
Étapes de calcul : 1) Produit scalaire 2) Normes 3) Arccos
Unités : Degrés (°) ou radians (rad)
Plage de valeurs : [0°, 180°] ou [0, π]
Cas particuliers
Vecteurs colinéaires : θ = 0° (même sens) ou 180° (opposés)
Vecteurs orthogonaux : θ = 90°
Vecteurs égaux : θ = 0°
Interprétation géométrique
0° ≤ θ ≤ 90° : angle aigu
θ = 90° : angle droit
90° < θ ≤ 180° : angle obtus
Signe du produit scalaire
Conseils & Astuces
Toujours calculer les normes avant d'utiliser la formule
Vérifier que le résultat est dans [0,π]
Le produit scalaire détermine le signe de l'angle
Un angle de 0° signifie vecteurs colinéaires de même sens
L'angle mesure l'écart d'orientation entre les vecteurs
Exemples complets
Calcul pas à pas :
⃗u = (1,1), ⃗v = (1,0)
⃗u·⃗v = 1×1 + 1×0 = 1
||⃗u|| = √2, ||⃗v|| = 1
cos(θ) = 1/√2 = √2/2 ⇒ θ = 45°
⃗u·⃗v = 1×1 + 1×0 = 1
||⃗u|| = √2, ||⃗v|| = 1
cos(θ) = 1/√2 = √2/2 ⇒ θ = 45°
Angle plat :
⃗u = (2,0), ⃗v = (-3,0)
⃗u·⃗v = -6, ||⃗u|| = 2, ||⃗v|| = 3
cos(θ) = -6/6 = -1 ⇒ θ = 180°
⃗u·⃗v = -6, ||⃗u|| = 2, ||⃗v|| = 3
cos(θ) = -6/6 = -1 ⇒ θ = 180°
Application triangulaire :
Dans triangle ABC :
cos(Â) = (⃗AB·⃗AC)/(||⃗AB||×||⃗AC||)
cos(Â) = (⃗AB·⃗AC)/(||⃗AB||×||⃗AC||)
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de diviser par les normes dans la formule
Erreur 2 :
Donner un angle hors de la plage [0°,180°]
Erreur 3 :
Confondre angle orienté et angle non orienté
