Relation fondamentale : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\)
- Utiliser la relation fondamentale : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
- Isoler le cosinus : \(\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}\)
- Calculer la valeur du cosinus
- Déterminer l'angle \(\theta\) avec la fonction arccos
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 6\), \(||\vec{u}|| = 3\), \(||\vec{v}|| = 4\)
\(\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}\)
\(\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \frac{6}{3 \times 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
\(\widehat{\vec{u},\vec{v}} = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60°\)
\(\cos(60°) = \frac{1}{2}\), donc \(3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6\) ✓
L'angle entre les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est de 60°.
• Formule fondamentale : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
• Isolation : \(\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}\)
• Valeur exacte : \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)
Vecteurs de base : \(\vec{u}(1,0)\) est le vecteur unitaire de l'axe des abscisses et \(\vec{v}(0,1)\) est celui de l'axe des ordonnées.
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0\)
\(||\vec{u}|| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1\)
\(||\vec{v}|| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1\)
\(\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||} = \frac{0}{1 \times 1} = 0\)
\(\widehat{\vec{u},\vec{v}} = \arccos(0) = 90°\)
Les vecteurs sont orthogonaux, donc l'angle est de 90°.
L'angle entre les vecteurs \(\vec{u}(1,0)\) et \(\vec{v}(0,1)\) est de 90°.
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
• Norme : \(||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
• Orthogonalité : Produit scalaire nul \(\Rightarrow\) angle de 90°
Relation fondamentale : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\)
\(||\vec{u}|| = 2\), \(||\vec{v}|| = 5\), \(\widehat{\vec{u},\vec{v}} = 120°\)
\(\cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 5 \times \left(-\frac{1}{2}\right)\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 10 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -5\)
Le produit scalaire est négatif car l'angle est obtus (>90°) ✓
Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) vaut -5.
• Formule fondamentale : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
• Signe : Produit scalaire négatif si l'angle est obtus
• Valeur exacte : \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\)
Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
\(\vec{u}(2,1)\) et \(\vec{v}(-1,2)\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-1) + 1 \times 2 = -2 + 2 = 0\)
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux.
\(||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)
\(||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)
\(\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||} = \frac{0}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = 0\)
\(\widehat{\vec{u},\vec{v}} = \arccos(0) = 90°\)
Les vecteurs sont orthogonaux et l'angle entre eux est de 90°.
Oui, les vecteurs \(\vec{u}(2,1)\) et \(\vec{v}(-1,2)\) sont orthogonaux. L'angle entre eux est de 90°.
• Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
• Norme : \(||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
Vecteur entre deux points : \(\vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A)\).
A(0,0), B(3,0), C(1,2)
\(\vec{AB} = (3-0, 0-0) = (3, 0)\)
\(\vec{AC} = (1-0, 2-0) = (1, 2)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 1 + 0 \times 2 = 3\)
\(||\vec{AB}|| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3\)
\(||\vec{AC}|| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\)
\(\cos(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}||} = \frac{3}{3 \times \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}} = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63.4°\)
L'angle entre \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) est d'environ 63.4°.
• Vecteur entre points : \(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
• Norme : \(||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- Calcul d'angle : \(\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}\)
- Calcul de produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
- Test d'orthogonalité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}\)
- Test de colinéarité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \pm||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||\)
- Coordonnées : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
- L'angle entre deux vecteurs est toujours compris entre 0° et 180°
- Le cosinus de l'angle entre deux vecteurs est toujours compris entre -1 et 1
- Le produit scalaire est positif si l'angle est aigu, négatif si obtus
- Le produit scalaire est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux
- Deux vecteurs sont colinéaires si l'angle est de 0° ou 180°
