Angle entre Vecteurs - Cours Complet

Soit \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) deux vecteurs non nuls. L'angle θ entre ces vecteurs est donné par :

Donc :

Si \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \), alors :

Cette formule permet de calculer l'angle en utilisant les coordonnées des vecteurs.

Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux si et seulement si leur angle est de 90°.

Cela correspond à \( \cos(90°) = 0 \).

Deux vecteurs sont colinéaires si leur angle est de 0° (même sens) ou 180° (sens opposés).

• Angle de 0° : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \) (même sens)
• Angle de 180° : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \) (sens opposés)

Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont opposés ( \( \vec{v} = -\vec{u} \) ), alors l'angle entre eux est de 180°.

Il existe deux unités principales pour mesurer les angles :

• Degrés : angle complet = 360°, demi-tour = 180°, quart de tour = 90°
• Radians : angle complet = 2π rad, demi-tour = π rad, quart de tour = π/2 rad

Pour convertir entre les deux unités :

Exemples : 90° = π/2 rad, 180° = π rad, 45° = π/4 rad

Degrés	Radians	Cosinus
0°	0	1
30°	π/6	√3/2
45°	π/4	√2/2
60°	π/3	1/2
90°	π/2	0
180°	π	-1

1 Coordonnées des vecteurs :
2 Produit scalaire :
3 Normes des vecteurs :
4 Calcul de l'angle :

1 Produit scalaire :
2 Normes :
3 Calcul de l'angle :
4 Orthogonalité :

Comme \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -14 \neq 0 \), les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

1 Produit scalaire :
2 Longueur BC (formule d'Al-Kashi) :
3 Angle ABC :

Utilisons la formule du cosinus dans le triangle ABC :
\( \cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC} = \frac{25 + 39 - 49}{2 \times 5 \times \sqrt{39}} = \frac{15}{10\sqrt{39}} = \frac{3}{2\sqrt{39}} \)
\( \widehat{ABC} = \arccos\left(\frac{3}{2\sqrt{39}}\right) \approx 73.2° \)

Lors du calcul d'angles entre vecteurs, on utilise souvent les identités trigonométriques suivantes :

Pour un triangle ABC avec les notations usuelles :

L'angle entre deux vecteurs est toujours mesuré dans l'intervalle [0, π], ce qui signifie que l'on ne distingue pas l'orientation (sens horaire ou anti-horaire) dans le calcul de l'angle entre deux vecteurs. Cependant, on a :

Si l'on considère l'angle orienté.

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si les angles entre leurs vecteurs directeurs est de 90°, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.

Si une droite a pour vecteur directeur \( \vec{u} \) et une autre droite a pour vecteur directeur \( \vec{v} \), alors les droites sont perpendiculaires si et seulement si \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).

Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \).

Cela permet de démontrer qu'un triangle est rectangle ou de déterminer si un angle est droit.

Une droite est tangente à un cercle si elle est perpendiculaire au rayon au point de contact.

Si A est un point du cercle de centre O et de rayon r, et que la droite (d) passe par A, alors (d) est tangente au cercle si et seulement si \( \overrightarrow{OA} \) est orthogonal à un vecteur directeur de (d).

1 Calcul des angles du quadrilatère :

Calculons l'angle en A : \( \widehat{DAB} \) entre \( \overrightarrow{AD} \) et \( \overrightarrow{AB} \)
\( \overrightarrow{AD} = (0; 3) \), \( \overrightarrow{AB} = (4; 0) \)
\( \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \times 4 + 3 \times 0 = 0 \)
Donc \( \cos(\widehat{DAB}) = 0 \), donc \( \widehat{DAB} = 90° \)

2 Vérification que ABCD est un rectangle :

On vérifie les angles en B, C et D de la même façon :
En B : \( \overrightarrow{BA} = (-4; 0) \), \( \overrightarrow{BC} = (0; 3) \), produit scalaire = 0 → angle de 90°
En C : \( \overrightarrow{CD} = (-4; 0) \), \( \overrightarrow{CB} = (0; -3) \), produit scalaire = 0 → angle de 90°
En D : \( \overrightarrow{DA} = (0; -3) \), \( \overrightarrow{DC} = (4; 0) \), produit scalaire = 0 → angle de 90°
Tous les angles sont droits, donc ABCD est un rectangle.

3 Angles entre les diagonales :

\( \overrightarrow{AC} = (4; 3) \), \( \overrightarrow{BD} = (-4; 3) \)
\( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 4 \times (-4) + 3 \times 3 = -16 + 9 = -7 \)
\( ||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{16 + 9} = 5 \), \( ||\overrightarrow{BD}|| = \sqrt{16 + 9} = 5 \)
\( \cos(\theta) = \frac{-7}{5 \times 5} = \frac{-7}{25} \)
\( \theta = \arccos\left(\frac{-7}{25}\right) \approx 106.3° \)

• Formule du cosinus : \( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||} \)
• Produit scalaire en coordonnées : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \)
• Norme d'un vecteur : \( ||\vec{u}|| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \)

• Orthogonalité : \( \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \) (angle = 90°)
• Même sens : angle = 0°, produit scalaire = \( ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \)
• Sens opposés : angle = 180°, produit scalaire = \( -||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \)

• Détection de droites perpendiculaires
• Calcul d'angles dans les triangles
• Reconnaissance de triangles rectangles
• Calcul de distances et de projections