Produit Scalaire - Définition et Propriétés - Cours Complet

Le produit scalaire est symétrique :

En effet, \( \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \cos(\widehat{\vec{v}, \vec{u}}) \).

Le produit scalaire est bilinéaire :

Où k est un réel.

Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est égal au carré de sa norme :

Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

Cela se produit lorsque l'angle entre les vecteurs est de 90° (ou π/2 radians), car cos(90°) = 0.

• Détection de droites perpendiculaires
• Calcul de projections orthogonales
• Résolution de problèmes de géométrie
• Calcul de distances

Soit \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \) deux vecteurs dans un repère orthonormé. Alors :

Cette formule est très pratique pour les calculs numériques.

On peut aussi exprimer le produit scalaire à l'aide des normes :

Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont deux vecteurs non nuls, l'angle θ entre eux vérifie :

Donc : \( \theta = \arccos\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \times ||\vec{v}||}\right) \)

La projection orthogonale du vecteur \( \vec{u} \) sur le vecteur \( \vec{v} \) est :

La distance d'un point M à une droite (d) d'équation ax + by + c = 0 est :

Cette formule utilise implicitement le produit scalaire.

1 Coordonnées des vecteurs :
2 Produit scalaire :
3 Calcul de l'angle :
4 Rectangle ?

Pour savoir si le triangle est rectangle, on calcule les trois produits scalaires :\n \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 7 \neq 0 \)
\( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3; -1) \cdot (-2; 3) = 6 - 3 = 3 \neq 0 \)
\( \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-1; -4) \cdot (2; -3) = -2 + 12 = 10 \neq 0 \)
Aucun angle n'est droit, donc le triangle n'est pas rectangle.

1 Produit scalaire :
2 Normes :
3 Angle entre les vecteurs :
4 Orthogonalité :

Comme \( \vec{u} \cdot \vec{v} = -14 \neq 0 \), les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

1 Démonstration de la linéarité :

Soit \( \vec{u}(x_u, y_u) \), \( \vec{v}(x_v, y_v) \), \( \vec{w}(x_w, y_w) \).
\( \vec{v} + \vec{w} = (x_v + x_w, y_v + y_w) \)
\( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = x_u(x_v + x_w) + y_u(y_v + y_w) = x_ux_v + x_ux_w + y_uy_v + y_uy_w \)
\( = (x_ux_v + y_uy_v) + (x_ux_w + y_uy_w) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)

2 Démonstration de l'homogénéité :

\( k\vec{u} = (kx_u, ky_u) \)
\( (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = kx_ux_v + ky_uy_v = k(x_ux_v + y_uy_v) = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) \)

3 Vérification numérique :

\( \vec{v} + \vec{w} = (3, -1) + (-2, 4) = (1, 3) \)
\( \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = (1, 2) \cdot (1, 3) = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7 \)
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (1, 2) \cdot (3, -1) = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 1 \)
\( \vec{u} \cdot \vec{w} = (1, 2) \cdot (-2, 4) = 1 \times (-2) + 2 \times 4 = 6 \)
\( \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} = 1 + 6 = 7 \)
Donc l'égalité est vérifiée.

Le produit scalaire est symétrique : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)

Linéarité à gauche : \( (\vec{u_1} + \vec{u_2}) \cdot \vec{v} = \vec{u_1} \cdot \vec{v} + \vec{u_2} \cdot \vec{v} \)

Linéarité à droite : \( \vec{u} \cdot (\vec{v_1} + \vec{v_2}) = \vec{u} \cdot \vec{v_1} + \vec{u} \cdot \vec{v_2} \)

Homogénéité : \( (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v}) \)

\( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2 \geq 0 \)

De plus, \( \vec{u} \cdot \vec{u} = 0 \) si et seulement si \( \vec{u} = \vec{0} \)

Pour tous vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) :
\( |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \)

L'égalité est atteinte si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Les formules de polarisation permettent de calculer le produit scalaire à partir des normes :

\( ||\vec{u} + \vec{v}||^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \)
\( = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} \)
\( = ||\vec{u}||^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2 \)
Donc : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(||\vec{u} + \vec{v}||^2 - ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2) \)

Soit \( ||\vec{u}|| = 3 \), \( ||\vec{v}|| = 4 \) et \( ||\vec{u} + \vec{v}|| = 5 \).
Alors : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(25 - 9 - 16) = \frac{1}{2}(0) = 0 \)
Donc les vecteurs sont orthogonaux.

1 Expressions des diagonales :

Par la relation de Chasles :
\( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v} \)
\( \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \vec{u} - \vec{v} \)

2 Produit scalaire des diagonales :
3 Condition de perpendicularité :

Les diagonales sont perpendiculaires si et seulement si \( \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} = 0 \).
Cela équivaut à : \( ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2 = 0 \)
Donc : \( ||\vec{u}||^2 = ||\vec{v}||^2 \)
Et finalement : \( ||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| \)
Le parallélogramme est un losange.

• Définition géométrique : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) \)
• Définition analytique : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \)
• Produit scalaire d'un vecteur par lui-même : \( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2 \)

• Symétrie : \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)
• Bilinéarité : distributivité et homogénéité
• Orthogonalité : \( \vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \)

• Calcul d'angles entre vecteurs
• Calcul de projections orthogonales
• Résolution de problèmes de géométrie
• Calcul de distances