Vecteurs et Équations de Droites - Cours Complet

Soit A(x₀, y₀) un point de la droite (d) et \( \vec{u}(a, b) \) un vecteur directeur de (d). Un point M(x, y) appartient à la droite (d) si et seulement s'il existe un réel t tel que :

Ce qui se traduit par le système paramétrique :

Le paramètre t permet de repérer tous les points de la droite en fonction de la position sur le vecteur directeur. Chaque valeur de t correspond à un point unique de la droite.

Toute droite du plan admet une équation de la forme :

Où a, b et c sont des réels avec a et b non tous deux nuls.

Si la droite a pour équation \( ax + by + c = 0 \), alors le vecteur \( \vec{n}(a, b) \) est un vecteur normal à la droite.

Ce vecteur est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite.

À partir de l'équation paramétrique :

On isole t dans une équation et on substitue dans l'autre, ou on élimine le paramètre t.

On obtient alors une équation de la forme ax + by + c = 0.

À partir de l'équation cartésienne ax + by + c = 0 :

• On identifie un vecteur directeur \( \vec{u}(-b, a) \)
• On trouve un point A de la droite (en fixant une coordonnée)
• On écrit l'équation paramétrique

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Si les droites ont pour équations cartésiennes :

Alors elles sont parallèles si et seulement si \( a_1b_2 - a_2b_1 = 0 \).

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Si les droites ont pour équations cartésiennes ci-dessus, elles sont perpendiculaires si et seulement si :

Pour trouver l'intersection des droites (d₁) et (d₂) :

On résout le système : \( \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases} \)

• Si le déterminant \( a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0 \) : les droites sont sécantes en un point unique
• Si le déterminant est nul et les droites sont confondues : infinité de points d'intersection
• Si le déterminant est nul et les droites sont parallèles distinctes : aucune intersection

On isole t dans la première équation : \( t = \frac{x-2}{3} \)
On substitue dans la deuxième : \( y = 1 - 2 \cdot \frac{x-2}{3} = 1 - \frac{2x-4}{3} = \frac{3-2x+4}{3} = \frac{7-2x}{3} \)
Donc : \( 3y = 7 - 2x \) soit \( 2x + 3y - 7 = 0 \)

La droite (d) a pour vecteur directeur \( \vec{u}(3; -2) \) et équation \( 2x + 3y - 7 = 0 \).
La droite (d') a pour équation \( 2x + 3y - 7 = 0 \).
Donc (d) et (d') ont la même équation, elles sont confondues (donc parallèles).

On isole t dans la première équation : \( t = \frac{1-x}{2} \)
On substitue dans la deuxième : \( y = -2 + 3 \cdot \frac{1-x}{2} = -2 + \frac{3-3x}{2} = \frac{-4+3-3x}{2} = \frac{-1-3x}{2} \)
Donc : \( 2y = -1 - 3x \) soit \( 3x + 2y + 1 = 0 \)

On remplace dans l'équation cartésienne : \( 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 1 = 15 + 8 + 1 = 24 \neq 0 \)
Donc B n'appartient pas à la droite (d).

Pour (d₁) : 2x - 3y + 5 = 0, le vecteur normal est (2, -3), donc un vecteur directeur est (3, 2).
Pour (d₂) : 4x - 6y - 1 = 0, le vecteur normal est (4, -6), donc un vecteur directeur est (6, 4) = 2(3, 2).

Les vecteurs directeurs sont (3, 2) et 2(3, 2), donc ils sont colinéaires.
Les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.

(d₁) a un vecteur directeur (3, 2) et (d₃) a un vecteur directeur (2, -3) (car 3x + 2y - 4 = 0 a un vecteur normal (3, 2)).
Le produit scalaire est : (3, 2) · (2, -3) = 3×2 + 2×(-3) = 6 - 6 = 0.
Donc (d₁) et (d₃) sont perpendiculaires.

Soit une droite (d) d'équation cartésienne \( ax + by + c = 0 \) et un point M(x₀, y₀). La distance de M à (d) est donnée par :

La distance est la longueur du segment reliant le point M à sa projection orthogonale H sur la droite (d). Le point H est le point de (d) le plus proche de M.

Soit A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) deux points distincts. La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) passant par le milieu I de [AB].

Un point M(x, y) appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si MA = MB.

Le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est un vecteur normal à la médiatrice.
Le milieu I a pour coordonnées \( \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \).
L'équation de la médiatrice est donc :
\( (x_B - x_A)(x - \frac{x_A + x_B}{2}) + (y_B - y_A)(y - \frac{y_A + y_B}{2}) = 0 \)

Le vecteur \( \overrightarrow{AB} = (3; 1) \) est un vecteur directeur.
Un vecteur normal est donc (1; -3).
L'équation est de la forme x - 3y + c = 0.
A(1; 2) ∈ (AB) ⇒ 1 - 3×2 + c = 0 ⇒ c = 5.
Donc (AB) : x - 3y + 5 = 0.

Utilisons la formule : \( d(C, (AB)) = \frac{|1×2 - 3×6 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|2 - 18 + 5|}{\sqrt{10}} = \frac{|-11|}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}} \)
Donc la distance est \( \frac{11\sqrt{10}}{10} \).

Le milieu I de [AB] est I(2.5; 2.5).
Le vecteur \( \overrightarrow{AB} = (3; 1) \) est normal à la médiatrice.
L'équation est 3x + y + c = 0.
I(2.5; 2.5) ∈ médiatrice ⇒ 3×2.5 + 2.5 + c = 0 ⇒ 7.5 + 2.5 + c = 0 ⇒ c = -10.
Donc la médiatrice : 3x + y - 10 = 0.

• Un vecteur directeur d'une droite a la même direction que la droite
• Un vecteur normal est orthogonal à la droite
• Équation paramétrique : x = x₀ + at, y = y₀ + bt
• Équation cartésienne : ax + by + c = 0

• Parallélisme : vecteurs directeurs colinéaires
• Perpendicularité : vecteurs directeurs orthogonaux
• Intersection : résolution d'un système

• Distance d'un point à une droite
• Médiatrice d'un segment
• Projections orthogonales