Vecteur directeur
Vecteur directeur : ⃗u non nul, dirige la droite
Équation cartésienne : ax + by + c = 0
Vecteur normal : ⃗n = (a, b) ⊥ à la droite
\( ax + by + c = 0 \Rightarrow \vec{n} = (a, b) \)
\( \vec{u} = (-b, a) \text{ est un vecteur directeur} \)
Exemple 1 - Équation à vecteur :
2x + 3y - 6 = 0
⃗n = (2,3), ⃗u = (-3,2)
⃗u est vecteur directeur
⃗n = (2,3), ⃗u = (-3,2)
⃗u est vecteur directeur
Exemple 2 - Vecteur à équation :
⃗u = (2,3), A(1,1)
(D): 3x - 2y - 1 = 0
Car ⃗u·⃗AM = 0
(D): 3x - 2y - 1 = 0
Car ⃗u·⃗AM = 0
Équations de droites
Cartésienne : ax + by + c = 0
Réduite : y = mx + p
Paramétrique : M = A + t⃗u
Parallélisme et intersections
Parallèles : ⃗u₁ et ⃗u₂ colinéaires
Sécantes : ⃗u₁ et ⃗u₂ non colinéaires
Perpendiculaires : ⃗n₁·⃗n₂ = 0
Caractérisations
Point + vecteur directeur
Deux points
Point + vecteur normal
Coefficient directeur
Conseils & Astuces
Trouver un vecteur directeur à partir de l'équation
Vérifier que les vecteurs ne sont pas nuls
Utiliser la condition ⃗u·⃗AM = 0 pour l'équation
Transformer entre formes d'équations
Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires
Exemples complets
Intersection de droites :
(D₁): 2x + y - 3 = 0
(D₂): x - y + 1 = 0
Système: x=2/3, y=5/3
(D₂): x - y + 1 = 0
Système: x=2/3, y=5/3
Droite perpendiculaire :
(D): 3x - 2y + 1 = 0
A(1,2), (D') ⊥ (D) passant par A
(D'): 2x + 3y - 8 = 0
A(1,2), (D') ⊥ (D) passant par A
(D'): 2x + 3y - 8 = 0
Distance point-droite :
A(x₀,y₀), (D): ax+by+c=0
d(A,D) = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
d(A,D) = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Confondre vecteur directeur et vecteur normal
Erreur 2 :
Oublier de vérifier que les droites ne sont pas confondues
Erreur 3 :
Calculer incorrectement les coefficients dans l'équation
