Applications fondamentales
Alignement : A, B, C alignés ⟺ ⃗AB et ⃗AC colinéaires
Parallélisme : (AB)//(CD) ⟺ ⃗AB et ⃗CD colinéaires
Distance AB : AB = ||⃗AB|| = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²]
\( \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC} \text{ colinéaires} \Leftrightarrow \text{A,B,C alignés} \)
\( AB = ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)
Exemple 1 - Alignement :
A(1,2), B(3,4), C(5,6)
⃗AB = (2,2), ⃗AC = (4,4)
2×4 - 2×4 = 0 ⇒ A,B,C alignés
⃗AB = (2,2), ⃗AC = (4,4)
2×4 - 2×4 = 0 ⇒ A,B,C alignés
Exemple 2 - Parallélisme :
A(0,0), B(2,1), C(1,3), D(3,4)
⃗AB = (2,1), ⃗CD = (2,1)
⃗AB = ⃗CD ⇒ (AB)//(CD)
⃗AB = (2,1), ⃗CD = (2,1)
⃗AB = ⃗CD ⇒ (AB)//(CD)
Propriétés géométriques
Milieu : I milieu de [AB] ⇒ ⃗AI = ½⃗AB
Parallélogramme : ABCD parallélogramme ⟺ ⃗AB = ⃗DC
Triangle : ⃗AB + ⃗BC = ⃗AC (relation de Chasles)
Applications spécifiques
Rectangle : ABCD rectangle ⟺ ⃗AB·⃗AD = 0 et ⃗AB = ⃗DC
Losange : ABCD losange ⟺ ||⃗AB|| = ||⃗AD|| et ⃗AB·⃗AD = 0
Carré : ABCD carré ⟺ rectangle + losange
Types de figures
Points alignés
Parallélogrammes
Triangles particuliers
Quadrilatères
Conseils & Astuces
Calculer les coordonnées des vecteurs pour prouver des propriétés
Utiliser la relation de Chasles pour les sommes de vecteurs
Appliquer les critères de colinéarité pour le parallélisme
Calculer les distances pour les propriétés métriques
Les vecteurs permettent de transformer des problèmes géométriques en calculs
Exemples complets
Parallélogramme :
A(0,0), B(3,1), C(4,4), D(1,3)
⃗AB = (3,1), ⃗DC = (3,1)
⃗AB = ⃗DC ⇒ ABCD parallélogramme
⃗AB = (3,1), ⃗DC = (3,1)
⃗AB = ⃗DC ⇒ ABCD parallélogramme
Distance et triangle :
A(0,0), B(3,0), C(0,4)
AB = 3, AC = 4, BC = 5
3² + 4² = 5² ⇒ triangle rectangle
AB = 3, AC = 4, BC = 5
3² + 4² = 5² ⇒ triangle rectangle
Milieu et médiane :
Triangle ABC, I milieu de [BC]
⃗AI = ½(⃗AB + ⃗AC)
Propriété du milieu
⃗AI = ½(⃗AB + ⃗AC)
Propriété du milieu
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Confondre critère de colinéarité avec critère d'orthogonalité
Erreur 2 :
Oublier de vérifier toutes les conditions pour une figure particulière
Erreur 3 :
Calculer les coordonnées dans le mauvais ordre