Mathématiques1ère

Applications à la géométrie
Exercices corrigés

Maîtrisez les applications à la géométrie : colinéarité, parallélisme, alignement, coordonnées, distances et configurations géométriques grâce à ces 5 exercices détaillés.

Concepts & Exercices
\(\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A)\)
Coordonnées d'un vecteur
Colinéarité
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\Leftrightarrow \det(\vec{u},\vec{v}) = 0\)
\(x_uy_v - x_vy_u = 0\)
Distance
\(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)
Distance entre deux points
Milieu
\(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\)
Coordonnées du milieu
🎯
Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre.
📏
Parallélisme : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
📍
Alignement : Trois points A, B, C sont alignés si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
📐
Configuration : Identifier les figures géométriques (parallélogramme, losange, rectangle...).
Exercice 1
Démontrer que les points A(1,2), B(4,5), C(7,8) sont alignés
Exercice 2
Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles avec A(1,1), B(3,4), C(2,2), D(4,5)
Exercice 3
Montrer que ABCD est un parallélogramme avec A(0,0), B(3,1), C(5,4), D(2,3)
Exercice 4
Calculer la distance AB avec A(-2,3) et B(4,-1)
Exercice 5
Trouver les coordonnées du point I milieu de [AB] avec A(2,-1) et B(6,5)
Corrigé : Exercices 1 à 3
1 Alignement de points
Définition :

Alignement : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Méthode :
  1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\)
  2. Vérifier si les vecteurs sont colinéaires (déterminant nul)
  3. Si oui, alors les points sont alignés
Étape 1 : Calcul des vecteurs

\(\vec{AB} = (4-1, 5-2) = (3, 3)\)

\(\vec{AC} = (7-1, 8-2) = (6, 6)\)

Étape 2 : Vérification de la colinéarité

\(\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0\)

Étape 3 : Conclusion

Puisque le déterminant est nul, les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Les points A, B et C sont alignés
Réponse finale :

Les points A(1,2), B(4,5), C(7,8) sont alignés car les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Règles appliquées :

• Coordonnées d'un vecteur : \(\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A)\)

• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul

• Alignement : Trois points sont alignés si deux des vecteurs formés sont colinéaires

2 Parallélisme de droites
Définition :

Parallélisme : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Étape 1 : Calcul des vecteurs directeurs

\(\vec{AB} = (3-1, 4-1) = (2, 3)\)

\(\vec{CD} = (4-2, 5-2) = (2, 3)\)

Étape 2 : Vérification de la colinéarité

\(\det(\vec{AB}, \vec{CD}) = 2 \times 3 - 3 \times 2 = 6 - 6 = 0\)

Étape 3 : Conclusion

Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles
Réponse finale :

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles car leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Règles appliquées :

• Vecteur directeur : \(\vec{AB}\) est un vecteur directeur de la droite (AB)

• Parallélisme : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

• Colinéarité : Utiliser le déterminant pour vérifier la colinéarité

3 Parallélogramme
Définition :

Parallélogramme : Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AB} = \vec{DC}\) ou \(\vec{AD} = \vec{BC}\).

Étape 1 : Calcul des vecteurs opposés

\(\vec{AB} = (3-0, 1-0) = (3, 1)\)

\(\vec{DC} = (5-2, 4-3) = (3, 1)\)

Étape 2 : Comparaison des vecteurs

\(\vec{AB} = \vec{DC} = (3, 1)\)

Étape 3 : Conclusion

Comme \(\vec{AB} = \vec{DC}\), les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

ABCD est un parallélogramme
Réponse finale :

ABCD est un parallélogramme car \(\vec{AB} = \vec{DC}\).

Règles appliquées :

• Caractérisation : ABCD est un parallélogramme si \(\vec{AB} = \vec{DC}\)

• Propriétés : Côtés opposés parallèles et de même longueur

• Égalité de vecteurs : Même direction, sens et norme

Corrigé : Exercices 4 à 5
4 Distance entre deux points
Définition :

Distance : La distance entre deux points A(\(x_A, y_A\)) et B(\(x_B, y_B\)) est : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)

Étape 1 : Identification des coordonnées

A(-2,3) et B(4,-1)

Étape 2 : Application de la formule

\(AB = \sqrt{(4-(-2))^2 + ((-1)-3)^2}\)

\(AB = \sqrt{(4+2)^2 + (-4)^2}\)

\(AB = \sqrt{6^2 + (-4)^2}\)

Étape 3 : Calcul des carrés

\(AB = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\)

Étape 4 : Simplification

\(AB = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}\)

\(AB = 2\sqrt{13}\)
Réponse finale :

La distance AB est égale à \(2\sqrt{13}\) unités.

Règles appliquées :

• Formule de distance : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)

• Simplification : Chercher les facteurs carrés parfaits

• Signes : Attention aux différences de coordonnées négatives

5 Coordonnées du milieu
Définition :

Milieu : Le milieu I du segment [AB] avec A(\(x_A, y_A\)) et B(\(x_B, y_B\)) a pour coordonnées : \(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\)

Étape 1 : Identification des coordonnées

A(2,-1) et B(6,5)

Étape 2 : Application de la formule

\(x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

\(y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Étape 3 : Conclusion

Les coordonnées du milieu sont (4, 2).

\(I(4, 2)\)
Réponse finale :

Les coordonnées du point I milieu de [AB] sont (4, 2).

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\)

• Calcul : Additionner les abscisses, puis diviser par 2 (idem pour ordonnées)

• Précision : Attention aux signes lors des additions

Cours bien détaillé
\(\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A)\)
Coordonnées d'un vecteur
🎯
Colinéarité : Deux vecteurs \(\vec{u}(x_1,y_1)\) et \(\vec{v}(x_2,y_2)\) sont colinéaires si \(x_1y_2 - x_2y_1 = 0\).
📏
Distance : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\). Théorème de Pythagore dans le plan.
📍
Milieu : \(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\). Moyenne des coordonnées.
📐
Parallélogramme : ABCD parallélogramme \(\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\) ou \(\vec{AD} = \vec{BC}\).
💡
Conseil : Toujours commencer par tracer les points pour visualiser la configuration
🔍
Attention : L'ordre des points est crucial dans les vecteurs (\(\vec{AB} = -\vec{BA}\))
⚡
Astuce : Utiliser le déterminant pour vérifier la colinéarité rapidement
📋
Méthode : Pour prouver un parallélogramme, montrer que deux côtés opposés sont égaux
✅
Vérification : Dessiner la figure permet de vérifier la cohérence des résultats
Méthodes de résolution :
  • Alignement : Montrer que deux vecteurs sont colinéaires
  • Parallélisme : Montrer que les vecteurs directeurs sont colinéaires
  • Parallélogramme : Montrer que \(\vec{AB} = \vec{DC}\) ou que les diagonales ont même milieu
  • Rectangle : Parallélogramme + un angle droit (produit scalaire nul)
  • Losange : Parallélogramme + côtés égaux (distance égale)
Règles importantes :
  • Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un est un multiple de l'autre
  • Le déterminant de deux vecteurs colinéaires est nul
  • Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales se coupent en leur milieu
  • La distance est toujours positive et ne dépend pas de l'ordre des points
  • Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités
Applications à la géométrie Calcul vectoriel