Vecteur directeur : Pour une droite d'équation cartésienne \(ax + by + c = 0\), un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b, a)\).
- Identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) dans l'équation \(ax + by + c = 0\)
- Appliquer la formule : \(\vec{u}(-b, a)\)
- Le vecteur obtenu est un vecteur directeur de la droite
Dans l'équation \(2x - 3y + 5 = 0\), on a : \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 5\)
\(\vec{u}(-b, a) = \vec{u}(-(-3), 2) = \vec{u}(3, 2)\)
On peut multiplier par un scalaire pour obtenir un vecteur équivalent : \(\vec{u'}(6, 4)\)
Un vecteur directeur de la droite \(2x - 3y + 5 = 0\) est \(\vec{u}(3, 2)\).
• Formule : Pour \(ax + by + c = 0\), un vecteur directeur est \(\vec{u}(-b, a)\)
• Signes : Attention au signe de \(b\) dans la formule
• Équivalence : Tous les multiples non nuls d'un vecteur directeur sont aussi des vecteurs directeurs
Parallélisme : Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Pour \(d_1: 3x - 2y + 1 = 0\), \(\vec{u_1}(-(-2), 3) = \vec{u_1}(2, 3)\)
Pour \(d_2: -6x + 4y - 7 = 0\), \(\vec{u_2}(-(4), -6) = \vec{u_2}(-4, -6)\)
\(\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}) = 2 \times (-6) - 3 \times (-4) = -12 + 12 = 0\)
Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles car leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
• Vecteur directeur : \(\vec{u}(-b, a)\) pour \(ax + by + c = 0\)
• Colinéarité : \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) colinéaires \(\Leftrightarrow \det(\vec{u_1}, \vec{u_2}) = 0\)
• Parallélisme : Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
Intersection : Le point d'intersection de deux droites sécantes est la solution du système formé par leurs équations.
\(\begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ 2x - y + 1 = 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x - y = -1 \end{cases}\)
De la première équation : \(x = 3 - 2y\)
Remplacer dans la deuxième : \(2(3 - 2y) - y = -1\)
\(6 - 4y - y = -1\)
\(6 - 5y = -1\)
\(-5y = -7\)
\(y = \frac{7}{5}\)
\(x = 3 - 2y = 3 - 2 \times \frac{7}{5} = 3 - \frac{14}{5} = \frac{15}{5} - \frac{14}{5} = \frac{1}{5}\)
\(x + 2y - 3 = \frac{1}{5} + 2 \times \frac{7}{5} - 3 = \frac{1}{5} + \frac{14}{5} - 3 = \frac{15}{5} - 3 = 0\) ✓
\(2x - y + 1 = 2 \times \frac{1}{5} - \frac{7}{5} + 1 = \frac{2}{5} - \frac{7}{5} + 1 = -\frac{5}{5} + 1 = 0\) ✓
L'intersection des deux droites est le point de coordonnées \(\left(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)\).
• Système : L'intersection est la solution du système formé par les équations
• Méthodes : Substitution, combinaison linéaire, ou méthode de Cramer
• Vérification : Toujours vérifier la solution dans les deux équations
Équation cartésienne : Une droite passant par un point A(\(x_A, y_A\)) et de vecteur directeur \(\vec{u}(u_x, u_y)\) a pour équation : \(u_y(x - x_A) - u_x(y - y_A) = 0\).
Point A(1,2) et vecteur directeur \(\vec{u}(2,-1)\)
\(u_y(x - x_A) - u_x(y - y_A) = 0\)
\((-1)(x - 1) - (2)(y - 2) = 0\)
\(-1(x - 1) - 2(y - 2) = 0\)
\(-x + 1 - 2y + 4 = 0\)
\(-x - 2y + 5 = 0\)
\(x + 2y - 5 = 0\)
L'équation cartésienne de la droite est \(x + 2y - 5 = 0\).
• Formule : \(u_y(x - x_A) - u_x(y - y_A) = 0\) pour droite passant par A de vecteur directeur \(\vec{u}\)
• Forme standard : Mettre l'équation sous la forme \(ax + by + c = 0\)
• Vérification : Vérifier que A(1,2) satisfait l'équation
Appartenance : Un point A(\(x_A, y_A\)) appartient à une droite d'équation \(ax + by + c = 0\) si et seulement si \(ax_A + by_A + c = 0\).
Point A(3,-1) et droite d'équation \(4x - 2y + 5 = 0\)
\(4x - 2y + 5 = 4(3) - 2(-1) + 5\)
\(= 12 + 2 + 5 = 19\)
On obtient 19 ≠ 0
Le point A(3,-1) n'appartient pas à la droite.
Le point A(3,-1) n'appartient pas à la droite d'équation \(4x - 2y + 5 = 0\).
• Test d'appartenance : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation
• Résultat : Si le résultat est 0, le point appartient à la droite
• Attention : Respecter les signes lors du calcul
- Équation cartésienne : Utiliser la formule \(u_y(x - x_A) - u_x(y - y_A) = 0\)
- Parallélisme : Comparer les vecteurs directeurs (colinéarité)
- Intersection : Résoudre le système formé par les deux équations
- Orthogonalité : Vérifier que \(\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0\)
- Appartenance : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation
- Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes proportionnelles
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
- Le point d'intersection est la solution du système formé par les équations des deux droites
- Le vecteur normal à la droite \(ax + by + c = 0\) est \(\vec{n}(a, b)\)
- Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
