Produit scalaire : Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})\)
- Identifier les normes des vecteurs et l'angle entre eux
- Appliquer la formule : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
- Calculer la valeur exacte ou approchée selon le contexte
\(||\vec{u}|| = 3\), \(||\vec{v}|| = 4\), \((\vec{u},\vec{v}) = 60°\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(60°)\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos(60°)\)
\(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6\)
Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) vaut 6.
• Définition : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
• Valeur exacte : \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\)
• Calcul : Multiplication des normes par le cosinus de l'angle
Norme : Pour tout vecteur \(\vec{u}\), \(\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2\), donc \(||\vec{u}|| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}\).
On sait que \(\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2\)
\(||\vec{u}||^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = 25\)
\(||\vec{u}|| = \sqrt{25} = 5\)
\(||\vec{u}||^2 = 5^2 = 25\) ✓
La norme du vecteur \(\vec{u}\) est égale à 5.
• Propriété fondamentale : \(\vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u}||^2\)
• Norme positive : La norme d'un vecteur est toujours positive
• Calcul : Extraire la racine carrée du carré scalaire
Coordonnées : Pour \(\vec{u}(x_1, y_1)\) et \(\vec{v}(x_2, y_2)\), \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\).
\(\vec{AB} = B - A = (3,0) - (0,0) = (3,0)\)
\(\vec{AC} = C - A = (0,4) - (0,0) = (0,4)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_{AB} \times x_{AC} + y_{AB} \times y_{AC}\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 0 + 0 \times 4\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 + 0 = 0\)
Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{AB} \perp \vec{AC}\)
Le produit scalaire \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) vaut 0, ce qui signifie que les vecteurs sont orthogonaux.
• Coordonnées d'un vecteur : \(\vec{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A)\)
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
• Orthogonalité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}\)
Orthogonalité : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si et seulement si \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
\(\vec{u}(2,3)\) et \(\vec{v}(-3,2)\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u \times x_v + y_u \times y_v\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-3) + 3 \times 2\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = -6 + 6 = 0\)
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux.
Les vecteurs \(\vec{u}(2,3)\) et \(\vec{v}(-3,2)\) sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul.
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
• Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
• Calcul : Attention aux signes lors de la multiplication
Bilinéarité : Le produit scalaire est distributif : \((\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}\).
\((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot (\vec{u} - \vec{v}) + \vec{v} \cdot (\vec{u} - \vec{v})\)
\(\vec{u} \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v}\)
\(\vec{v} \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v}\)
\((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v}\)
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\), donc :
\((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v} \cdot \vec{v}\)
\((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{v} \cdot \vec{v}\)
\((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\)
\((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\)
• Distributivité : \((\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}\)
• Commutativité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
• Identité remarquable : \((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ||\vec{u}||^2 - ||\vec{v}||^2\)
- Avec cosinus : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta)\)
- Avec coordonnées : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
- Avec projection : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times \text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}\)
- Identités remarquables : \((\vec{u} \pm \vec{v})^2 = ||\vec{u}||^2 \pm 2\vec{u} \cdot \vec{v} + ||\vec{v}||^2\)
- Orthogonalité : \(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
- Le produit scalaire est un nombre réel, pas un vecteur
- Le produit scalaire est commutatif : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Le produit scalaire est distributif par rapport à l'addition
- Un vecteur est orthogonal à lui-même si et seulement s'il est nul
- Le produit scalaire est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux
