Définition du produit scalaire
Définition 1 : ⃗u·⃗v = ||⃗u||×||⃗v||×cos(θ)
Définition 2 : ⃗u·⃗v = (x₁x₂ + y₁y₂) dans une base orthonormée
Orthogonalité : ⃗u ⊥ ⃗v ⟺ ⃗u·⃗v = 0
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\theta) \)
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \)
Exemple 1 - Calcul direct :
||⃗u|| = 3, ||⃗v|| = 4, θ = 60°
⃗u·⃗v = 3×4×cos(60°) = 12×0.5 = 6
⃗u·⃗v = 3×4×cos(60°) = 12×0.5 = 6
Exemple 2 - Coordonnées :
⃗u = (2,3), ⃗v = (1,-2)
⃗u·⃗v = 2×1 + 3×(-2) = 2 - 6 = -4
⃗u·⃗v = 2×1 + 3×(-2) = 2 - 6 = -4
Propriétés fondamentales
Commutativité : ⃗u·⃗v = ⃗v·⃗u
Bilinéarité : (k⃗u)·⃗v = k(⃗u·⃗v)
Distributivité : ⃗u·(⃗v + ⃗w) = ⃗u·⃗v + ⃗u·⃗w
Cas particuliers
Vecteur nul : ⃗0·⃗u = 0
Norme au carré : ⃗u·⃗u = ||⃗u||²
Orthogonalité : ⃗u ⊥ ⃗v ⟺ ⃗u·⃗v = 0
Applications immédiates
Calcul de norme
Mesure d'angle
Test d'orthogonalité
Projection orthogonale
Conseils & Astuces
Utiliser la forme adaptée selon le contexte
Vérifier que la base est orthonormée pour les coordonnées
Le produit scalaire peut être négatif
Pour tester l'orthogonalité, utiliser ⃗u·⃗v = 0
Le produit scalaire mesure l'alignement des vecteurs
Exemples complets
Calcul de norme :
⃗u = (3,4)
||⃗u||² = ⃗u·⃗u = 3² + 4² = 25
||⃗u|| = 5
||⃗u||² = ⃗u·⃗u = 3² + 4² = 25
||⃗u|| = 5
Orthogonalité :
⃗u = (2,3), ⃗v = (-3,2)
⃗u·⃗v = 2×(-3) + 3×2 = 0
Donc ⃗u ⊥ ⃗v
⃗u·⃗v = 2×(-3) + 3×2 = 0
Donc ⃗u ⊥ ⃗v
Identités remarquables :
(⃗u + ⃗v)² = ⃗u² + 2⃗u·⃗v + ⃗v²
(⃗u - ⃗v)² = ⃗u² - 2⃗u·⃗v + ⃗v²
(⃗u - ⃗v)² = ⃗u² - 2⃗u·⃗v + ⃗v²
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Confondre produit scalaire et produit vectoriel
Erreur 2 :
Appliquer la formule des coordonnées dans une base non orthonormée
Erreur 3 :
Oublier que le produit scalaire peut être négatif
