Coordonnées d'un vecteur : Si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) sont deux points, alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((x_B - x_A, y_B - y_A)\).
- Identifier les coordonnées des points A et B
- Appliquer la formule : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
- Calculer les coordonnées du vecteur
- Vérifier la cohérence du résultat
Point A(2, 3) donc \(x_A = 2\) et \(y_A = 3\)
Point B(5, 7) donc \(x_B = 5\) et \(y_B = 7\)
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
\(\overrightarrow{AB} = (5 - 2, 7 - 3)\)
\(\overrightarrow{AB} = (3, 4)\)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a une abscisse de 3 (déplacement de 3 unités vers la droite)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a une ordonnée de 4 (déplacement de 4 unités vers le haut)
Cela correspond bien au passage de A(2,3) à B(5,7)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement de A vers B
Sa norme est \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont (3, 4).
• Coordonnées d'un vecteur : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
• Direction et sens : Du point de départ vers le point d'arrivée
• Norme du vecteur : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
Opérations sur les vecteurs : Addition, soustraction et multiplication par un scalaire se font coordonnée par coordonnée.
\(\overrightarrow{u} = (3, -2)\)
\(\overrightarrow{v} = (-1, 4)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (3, -2) + (-1, 4)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (3 + (-1), -2 + 4)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2, 2)\)
\(2\overrightarrow{u} = 2(3, -2)\)
\(2\overrightarrow{u} = (2 \times 3, 2 \times (-2))\)
\(2\overrightarrow{u} = (6, -4)\)
\(3\overrightarrow{v} = 3(-1, 4)\)
\(3\overrightarrow{v} = (3 \times (-1), 3 \times 4)\)
\(3\overrightarrow{v} = (-3, 12)\)
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (6, -4) - (-3, 12)\)
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (6 - (-3), -4 - 12)\)
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (9, -16)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2, 2)\) ✓
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (9, -16)\) ✓
Les opérations sont distributives : \(k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}\)
La multiplication par un scalaire est associative : \(k(l\overrightarrow{u}) = (kl)\overrightarrow{u}\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2, 2)\) et \(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (9, -16)\).
• Addition : \((x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)\)
• Multiplication par un scalaire : \(k(x, y) = (kx, ky)\)
• Soustraction : \((x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1-x_2, y_1-y_2)\)
Norme d'un vecteur : La norme d'un vecteur \(\overrightarrow{u} = (x, y)\) est sa longueur : \(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
\(\overrightarrow{u} = (4, -3)\)
Donc \(x = 4\) et \(y = -3\)
\(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2}\)
\(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{16 + 9}\)
\(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{25}\)
\(\|\overrightarrow{u}\| = 5\)
La norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\) est 5
Cela signifie que la longueur du vecteur est de 5 unités
Le vecteur \(\overrightarrow{u} = (4, -3)\) forme un triangle rectangle avec les axes
La norme correspond à l'hypoténuse de ce triangle
Avec les côtés de longueurs 4 et 3, on retrouve l'hypoténuse de longueur 5 (triangle 3-4-5)
La norme du vecteur \(\overrightarrow{u}(4, -3)\) est \(\|\overrightarrow{u}\| = 5\).
• Norme : \(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
• Théorème de Pythagore : Utilisé pour justifier la formule
• Positivité : La norme est toujours positive ou nulle
Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\).
\(\overrightarrow{u} = (2, -1)\)
\(\overrightarrow{v} = (-4, 2)\)
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u} = (x_1, y_1)\) et \(\overrightarrow{v} = (x_2, y_2)\) sont colinéaires si et seulement si :
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_1y_2 - x_2y_1 = 0\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 2 \times 2 - (-4) \times (-1)\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 4 - 4 = 0\)
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires
\(\frac{x_1}{x_2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}\)
\(\frac{y_1}{y_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}\)
Les rapports sont égaux, donc les vecteurs sont colinéaires
\(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\)
\((2, -1) = k(-4, 2)\)
\((2, -1) = (-4k, 2k)\)
Donc : \(2 = -4k\) et \(-1 = 2k\)
De la première équation : \(k = -\frac{1}{2}\)
De la seconde équation : \(k = -\frac{1}{2}\)
Les deux équations donnent le même \(k\), ce qui confirme la colinéarité
\(\overrightarrow{u} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{v}\)
Les vecteurs sont colinéaires et de sens opposé (car \(k < 0\))
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}(2, -1)\) et \(\overrightarrow{v}(-4, 2)\) sont colinéaires car leur déterminant est nul.
• Condition de colinéarité : \(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0\)
• Déterminant : \(x_1y_2 - x_2y_1\)
• Proportionnalité : \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\) (si dénominateurs non nuls)
Égalité de vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées, ce qui implique qu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
\(A(1, 2)\), donc \(x_A = 1\) et \(y_A = 2\)
\(B(3, 5)\), donc \(x_B = 3\) et \(y_B = 5\)
On cherche le point \(C(x_C, y_C)\) tel que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
\(\overrightarrow{AB} = (3 - 1, 5 - 2)\)
\(\overrightarrow{AB} = (2, 3)\)
\(2\overrightarrow{AB} = 2(2, 3)\)
\(2\overrightarrow{AB} = (4, 6)\)
\(\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)\)
\(\overrightarrow{AC} = (x_C - 1, y_C - 2)\)
\(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\)
\((x_C - 1, y_C - 2) = (4, 6)\)
Par identification des coordonnées :
\(x_C - 1 = 4 \Rightarrow x_C = 5\)
\(y_C - 2 = 6 \Rightarrow y_C = 8\)
\(\overrightarrow{AC} = (5 - 1, 8 - 2) = (4, 6)\)
\(2\overrightarrow{AB} = 2(2, 3) = (4, 6)\)
Donc \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\) ✓
Le point C est tel que le vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est le double du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
Le point C est situé sur la droite (AB) dans le prolongement de [AB]
Le point C a pour coordonnées (5, 8).
• Égalité de vecteurs : \((x_1, y_1) = (x_2, y_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2 \text{ et } y_1 = y_2\)
• Coordonnées d'un vecteur : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
• Identification : Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées
- Coordonnées d'un vecteur : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
- Addition : \((x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)\)
- Multiplication par un scalaire : \(k(x, y) = (kx, ky)\)
- Norme : \(\|(x, y)\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
- Colinéarité : \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) colinéaires \(\Leftrightarrow \det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0\)
- L'addition de vecteurs est commutative : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\)
- L'addition de vecteurs est associative : \((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})\)
- Le vecteur nul est l'élément neutre : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\)
- Tout vecteur a un opposé : \(\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}\)
- La multiplication est distributive : \(k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}\)
- Translation : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) définit une translation qui transforme A en B
- Égalité de vecteurs : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si ABCD est un parallélogramme
- Colinéarité : \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'il existe \(k\) tel que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\)
- Orthogonalité : \(\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}\) si \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)
