Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\).
- Méthode du déterminant : \(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_uy_v - x_vy_u = 0\)
- Méthode de la proportionnalité : \(\frac{x_u}{x_v} = \frac{y_u}{y_v}\) (si les dénominateurs sont non nuls)
- Méthode de la combinaison linéaire : Rechercher \(k\) tel que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\)
\(\overrightarrow{u} = (3, -6)\) donc \(x_u = 3\) et \(y_u = -6\)
\(\overrightarrow{v} = (-2, 4)\) donc \(x_v = -2\) et \(y_v = 4\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_uy_v - x_vy_u\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 3 \times 4 - (-2) \times (-6)\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 12 - 12 = 0\)
Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires
\(\frac{x_u}{x_v} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\)
\(\frac{y_u}{y_v} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}\)
Les rapports sont égaux, donc les vecteurs sont colinéaires
\(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\)
\((3, -6) = k(-2, 4)\)
\((3, -6) = (-2k, 4k)\)
Donc : \(3 = -2k\) et \(-6 = 4k\)
De la première équation : \(k = -\frac{3}{2}\)
De la seconde équation : \(k = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}\)
Les deux équations donnent le même k, ce qui confirme la colinéarité
\(\overrightarrow{u} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{v}\)
Les vecteurs sont colinéaires et de sens opposé (k < 0)
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}(3, -6)\) et \(\overrightarrow{v}(-2, 4)\) sont colinéaires car leur déterminant est nul : \(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0\).
• Condition de colinéarité : \(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0\)
• Déterminant : \(x_uy_v - x_vy_u\)
• Proportionnalité : \(\frac{x_u}{x_v} = \frac{y_u}{y_v}\) (si dénominateurs non nuls)
Base du plan : Une base du plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires. Ils permettent de décomposer n'importe quel vecteur du plan.
\(\overrightarrow{u} = (2, 5)\) donc \(x_u = 2\) et \(y_u = 5\)
\(\overrightarrow{v} = (4, 9)\) donc \(x_v = 4\) et \(y_v = 9\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_uy_v - x_vy_u\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 2 \times 9 - 4 \times 5\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 18 - 20 = -2\)
Le déterminant est \(-2 \neq 0\), donc les vecteurs ne sont pas colinéaires
\(\frac{x_u}{x_v} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{y_u}{y_v} = \frac{5}{9}\)
Comme \(\frac{1}{2} \neq \frac{5}{9}\), les vecteurs ne sont pas proportionnels
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non colinéaires
Ils forment donc une base du plan
Tout vecteur \(\overrightarrow{w}\) du plan peut s'écrire comme une combinaison linéaire :
\(\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}\) où \(a\) et \(b\) sont des réels uniques
Cette base permet de repérer n'importe quel point du plan
Elle est utilisée dans les changements de repère
Elle permet de résoudre des systèmes vectoriels
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}(2, 5)\) et \(\overrightarrow{v}(4, 9)\) forment une base du plan car ils ne sont pas colinéaires (leur déterminant est \(-2 \neq 0\)).
• Base du plan : Deux vecteurs non colinéaires
• Condition : \(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) \neq 0\)
• Propriété : Toute famille de 2 vecteurs linéairement indépendants forme une base
Coordonnées dans une base : Si \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) est une base et \(\overrightarrow{w} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}\), alors \((x, y)\) sont les coordonnées de \(\overrightarrow{w}\) dans cette base.
\(\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}\)
On suppose que \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) est une base du plan
Dans une base \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\), tout vecteur \(\overrightarrow{w}\) s'écrit :
\(\overrightarrow{w} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}\)
où \((x, y)\) sont les coordonnées de \(\overrightarrow{w}\) dans cette base
\(\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}\)
\(\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{i} + (-3)\overrightarrow{j}\)
Donc le coefficient de \(\overrightarrow{i}\) est \(x = 2\)
Et le coefficient de \(\overrightarrow{j}\) est \(y = -3\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{w}\) dans la base \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) sont \((2, -3)\)
Si les coordonnées sont \((2, -3)\), alors :
\(\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{i} + (-3)\overrightarrow{j} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}\) ✓
Les coordonnées sont uniques dans une base donnée
Les opérations sur les vecteurs se traduisent par des opérations sur les coordonnées
Pour un vecteur \(\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j}\), les coordonnées sont \((a, b)\)
Cette méthode s'applique à n'importe quelle base du plan
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j}\) dans la base \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) sont \((2, -3)\).
• Coordonnées dans une base : Coefficients de la combinaison linéaire
• Unicité : Les coordonnées sont uniques dans une base donnée
• Forme : \(\overrightarrow{w} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} \Rightarrow (x,y)\)
Expression dans une base : Trouver les coefficients \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}\) où \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) est une base.
\(\overrightarrow{u} = (1, 2)\)
\(\overrightarrow{v} = (3, 1)\)
\(\overrightarrow{w} = (7, 4)\)
On cherche \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}\)
\(\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}\)
\((7, 4) = a(1, 2) + b(3, 1)\)
\((7, 4) = (a, 2a) + (3b, b)\)
\((7, 4) = (a + 3b, 2a + b)\)
Par identification des coordonnées :
\(\begin{cases} a + 3b = 7 \quad (1)\\ 2a + b = 4 \quad (2) \end{cases}\)
De l'équation (1) : \(a = 7 - 3b\)
Substituons dans (2) : \(2(7 - 3b) + b = 4\)
\(14 - 6b + b = 4\)
\(14 - 5b = 4\)
\(-5b = 4 - 14 = -10\)
\(b = 2\)
Donc : \(a = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1\)
\(a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v} = 1(1, 2) + 2(3, 1) = (1, 2) + (6, 2) = (7, 4)\) ✓
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 1 \times 1 - 3 \times 2 = 1 - 6 = -5 \neq 0\)
Donc \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) est bien une base
\(\overrightarrow{w} = 1\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}\)
Les coordonnées de \(\overrightarrow{w}\) dans la base \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) sont \((1, 2)\)
\(\overrightarrow{w} = 1\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}\). Les coordonnées de \(\overrightarrow{w}\) dans la base \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) sont \((1, 2)\).
• Expression dans une base : Résolution d'un système linéaire
• Identification : Égalité de vecteurs ⇒ égalité de coordonnées
• Unicité : Les coefficients sont uniques dans une base donnée
Paramètre de colinéarité : Trouver la valeur d'un paramètre qui rend deux vecteurs colinéaires.
\(\overrightarrow{u} = (k, 3)\)
\(\overrightarrow{v} = (2, k-1)\)
On cherche \(k\) tel que \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) soient colinéaires
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_uy_v - x_vy_u\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = k(k-1) - 2 \times 3\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = k(k-1) - 6\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = k^2 - k - 6\)
Pour que les vecteurs soient colinéaires :
\(k^2 - k - 6 = 0\)
\(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\)
\(\sqrt{\Delta} = 5\)
\(k_1 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
\(k_2 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(\overrightarrow{u} = (-2, 3)\)
\(\overrightarrow{v} = (2, -2-1) = (2, -3)\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = (-2)(-3) - (2)(3) = 6 - 6 = 0\) ✓
\(\overrightarrow{u} = (3, 3)\)
\(\overrightarrow{v} = (2, 3-1) = (2, 2)\)
\(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = (3)(2) - (2)(3) = 6 - 6 = 0\) ✓
Les vecteurs sont colinéaires pour \(k = -2\) ou \(k = 3\)
Pour \(k = -2\) : \(\overrightarrow{u} = (-2, 3)\) et \(\overrightarrow{v} = (2, -3)\)
On a \(\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{v}\) (vecteurs opposés)
Pour \(k = 3\) : \(\overrightarrow{u} = (3, 3)\) et \(\overrightarrow{v} = (2, 2)\)
On a \(\overrightarrow{u} = \frac{3}{2}\overrightarrow{v}\) (même sens)
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}(k, 3)\) et \(\overrightarrow{v}(2, k-1)\) sont colinéaires pour \(k = -2\) ou \(k = 3\).
• Condition de colinéarité : \(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0\)
• Équation paramétrée : Résolution d'une équation avec paramètre
• Vérification : Toujours contrôler les solutions trouvées
- Test de colinéarité : Calculer \(\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x_uy_v - x_vy_u\) et vérifier s'il est nul
- Test de base : Vérifier que deux vecteurs ne sont pas colinéaires
- Expression dans une base : Résoudre le système \(\overrightarrow{w} = a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v}\)
- Recherche de paramètre : Mettre en équation la condition de colinéarité
- Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul
- Deux vecteurs non colinéaires forment une base du plan
- Dans une base, tout vecteur a des coordonnées uniques
- Le déterminant mesure l'aire orientée du parallélogramme formé par deux vecteurs
- Si deux vecteurs sont colinéaires, l'un est multiple de l'autre
- Colinéarité : \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\) ou \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\)
- Base : \((\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})\) est une base \(\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non colinéaires
- Coordonnées : Si \((\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})\) est une base, alors \(\overrightarrow{w} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} \Leftrightarrow \overrightarrow{w}\) a pour coordonnées \((x, y)\)
- Combinaison linéaire : Toute famille de 2 vecteurs linéairement indépendants forme une base
