Vecteurs colinéaires
Colinéaires : Même direction, ∃k∈ℝ tel que ⃗u = k⃗v
Critère algébrique : xy' - x'y = 0
Base : Deux vecteurs non colinéaires qui engendrent le plan
\( \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v} \)
\( xy' - x'y = 0 \)
Exemple 1 - Colinéarité :
⃗u = (2,4), ⃗v = (1,2)
xy' - x'y = 2×2 - 4×1 = 0
Donc ⃗u et ⃗v sont colinéaires
xy' - x'y = 2×2 - 4×1 = 0
Donc ⃗u et ⃗v sont colinéaires
Exemple 2 - Non colinéarité :
⃗u = (1,2), ⃗v = (3,4)
xy' - x'y = 1×4 - 2×3 = -2 ≠ 0
Donc ⃗u et ⃗v ne sont pas colinéaires
xy' - x'y = 1×4 - 2×3 = -2 ≠ 0
Donc ⃗u et ⃗v ne sont pas colinéaires
Propriétés et applications
Caractérisation : ⃗u = k⃗v avec k≠0
Alignement : 3 points A, B, C alignés ⇔ ⃗AB et ⃗AC colinéaires
Parallélisme : (AB)//(CD) ⇔ ⃗AB et ⃗CD colinéaires
Bases vectorielles
Définition : Deux vecteurs non colinéaires (⃗i, ⃗j)
Repère : (O, ⃗i, ⃗j) avec O point origine
Coordonnées : ⃗u = x⃗i + y⃗j
Applications géométriques
Alignement de points
Parallélisme de droites
Construction de figures
Repérage dans le plan
Conseils & Astuces
Appliquer la formule xy' - x'y = 0
Vérifier que les vecteurs ne sont pas nuls
Utiliser les coordonnées pour les calculs
Représenter graphiquement pour visualiser
Deux vecteurs non colinéaires forment une base
Exemples complets
Alignement de points :
A(1,2), B(3,4), C(5,6)
⃗AB = (2,2), ⃗AC = (4,4)
2×4 - 2×4 = 0 ⇒ A,B,C alignés
⃗AB = (2,2), ⃗AC = (4,4)
2×4 - 2×4 = 0 ⇒ A,B,C alignés
Base vectorielle :
⃗i = (1,0), ⃗j = (0,1)
⃗u = (3,2) = 3⃗i + 2⃗j
(⃗i, ⃗j) forme une base
⃗u = (3,2) = 3⃗i + 2⃗j
(⃗i, ⃗j) forme une base
Combinaison linéaire :
⃗u = (5,7), ⃗i = (1,2), ⃗j = (3,1)
⃗u = α⃗i + β⃗j ⇒ système à résoudre
⃗u = α⃗i + β⃗j ⇒ système à résoudre
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de vérifier que les vecteurs ne sont pas nuls
Erreur 2 :
Confondre critère de colinéarité avec critère d'orthogonalité
Erreur 3 :
Penser que trois vecteurs peuvent former une base du plan
