Vecteurs Colinéaires et Base - Cours Complet

Introduction

VECTEURS COLINÉAIRES ET BASE
Systèmes de vecteurs et coordonnées

Découvrez les fondements de la géométrie vectorielle

Colinéarité
Base
Coordonnées

Définition des vecteurs colinéaires

Notion de colinéarité

DÉFINITION MATHÉMATIQUE
Définition

Deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que :

\( \overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u} \) ou \( \overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v} \)

Autrement dit, les vecteurs ont la même direction (éventuellement opposée).

Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur
u v w

Critère de colinéarité

Condition nécessaire et suffisante

CRITÈRE ANALYTIQUE
Dans un repère

Dans un repère, deux vecteurs \( \overrightarrow{u}(x_1; y_1) \) et \( \overrightarrow{v}(x_2; y_2) \) sont colinéaires si et seulement si :

\( x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 = 0 \)

On peut aussi dire que les coordonnées sont proportionnelles : \( \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \) (si \( x_2 \neq 0 \) et \( y_2 \neq 0 \))

APPLICATION PRATIQUE
Exemple de vérification
1 Soit \( \overrightarrow{u}(3; 6) \) et \( \overrightarrow{v}(1; 2) \)
2 Calcul : \( 3 \times 2 - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0 \)
3 Donc les vecteurs sont colinéaires
4 En effet : \( \overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{v} \)

Applications de la colinéarité

Utilisations concrètes

EN GÉOMÉTRIE
Alignement de points

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires.

\( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) colinéaires \( \Leftrightarrow \) A, B, C alignés
Parallélisme de droites

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs sont colinéaires.

\( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) colinéaires \( \Leftrightarrow \) (AB) // (CD)
EXEMPLE D'APPLICATION
Vérification d'alignement

Soit A(1; 2), B(3; 4), C(5; 6). Calculons les coordonnées des vecteurs :

\( \overrightarrow{AB} = (3-1; 4-2) = (2; 2) \)
\( \overrightarrow{AC} = (5-1; 6-2) = (4; 4) \)
\( 2 \times 4 - 2 \times 4 = 8 - 8 = 0 \)

Donc les points A, B et C sont alignés.

Définition d'une base

Système de vecteurs

DÉFINITION
Base du plan

Deux vecteurs \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) forment une base du plan si et seulement si ils sont non colinéaires.

Autrement dit, ils ont des directions différentes.

REPRÉSENTATION
Base canonique

La base canonique du plan est formée des vecteurs :

\( \vec{i} = (1; 0) \) et \( \vec{j} = (0; 1) \)

Elle permet de représenter tout vecteur du plan.

i j
Une base permet de décomposer tout vecteur du plan

Décomposition d'un vecteur dans une base

Théorème fondamental

THÉORÈME
Théorème de décomposition

Dans un plan rapporté à une base \( (\vec{i}, \vec{j}) \), tout vecteur \( \vec{u} \) se décompose de manière unique :

\( \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \)

où \( x \) et \( y \) sont les coordonnées de \( \vec{u} \) dans la base \( (\vec{i}, \vec{j}) \).

EXEMPLE DE DÉCOMPOSITION
Calcul des coordonnées

Soit \( \vec{i} = (1; 0) \), \( \vec{j} = (0; 1) \) et \( \vec{u} = (3; 5) \).

Alors : \( \vec{u} = 3\vec{i} + 5\vec{j} \)

Les coordonnées de \( \vec{u} \) dans la base canonique sont (3; 5).

i j u = 2i + 1j

Changement de base

Matrice de passage

DÉFINITION
Changement de base

Soit \( (\vec{i}, \vec{j}) \) une base initiale et \( (\vec{i'}, \vec{j'}) \) une nouvelle base.

On peut exprimer les nouveaux vecteurs de base en fonction des anciens :

\( \vec{i'} = a\vec{i} + c\vec{j} \) et \( \vec{j'} = b\vec{i} + d\vec{j} \)

La matrice de passage de la base ancienne à la base nouvelle est :

\( P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)
FORMULE DE CHANGEMENT DE COORDONNÉES
Transformation des coordonnées

Si \( \vec{u} \) a pour coordonnées \( (x, y) \) dans la base ancienne et \( (x', y') \) dans la nouvelle base, alors :

\( \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)
Le déterminant de la matrice de passage doit être non nul

Base orthonormée

Propriétés spéciales

DÉFINITION
Base orthonormée

Une base \( (\vec{i}, \vec{j}) \) est dite orthonormée si :

  • Les vecteurs \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) sont orthogonaux (perpendiculaires)
  • Les vecteurs \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) ont une norme égale à 1
\( \vec{i} \cdot \vec{j} = 0 \) et \( ||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 \)
AVANTAGES D'UNE BASE ORTHONORMÉE
Calculs simplifiés
  • Calcul des distances facilité
  • Calcul des angles simplifié
  • Produit scalaire facile à manipuler
  • Calcul des projections orthogonales facilité
i (1,0) j (0,1)

Exemple d'application

Problème complet

PROBLÈME PRATIQUE
Énoncé

Soient les points A(1; 2), B(4; 3), C(6; 1) et D(3; 0).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{DC} \).

2. Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{DC} \) sont-ils colinéaires ?

3. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

Solution
1 Calcul de \( \overrightarrow{AB} \) :
\( \overrightarrow{AB} = (4-1; 3-2) = (3; 1) \)
2 Calcul de \( \overrightarrow{DC} \) :
\( \overrightarrow{DC} = (6-3; 1-0) = (3; 1) \)
3 Colinéarité :
\( 3 \times 1 - 1 \times 3 = 3 - 3 = 0 \)

Donc \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), les vecteurs sont colinéaires et égaux.

4 Nature du quadrilatère :

Comme \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1

Application directe

ÉNONCÉ
Question

Soient les vecteurs \( \overrightarrow{u}(2; -3) \) et \( \overrightarrow{v}(-4; 6) \).

1. Les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont-ils colinéaires ?

2. Si oui, trouver le réel k tel que \( \overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u} \).

SOLUTION
Calcul de colinéarité
1 Vérification du critère :
\( 2 \times 6 - (-3) \times (-4) = 12 - 12 = 0 \)

Donc les vecteurs sont colinéaires.

2 Trouver k :
\( \overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u} \Rightarrow (-4; 6) = k(2; -3) \)
\( -4 = 2k \Rightarrow k = -2 \)
\( 6 = -3k \Rightarrow k = -2 \)

Donc \( k = -2 \) et \( \overrightarrow{v} = -2\overrightarrow{u} \).

Exercice 2

Base et coordonnées

ÉNONCÉ
Question

Dans un repère, on considère les vecteurs \( \vec{i}(1; 0) \), \( \vec{j}(0; 1) \) et \( \vec{u}(3; 2) \).

1. Montrer que \( (\vec{i}, \vec{j}) \) forme une base.

2. Décomposer le vecteur \( \vec{u} \) dans cette base.

3. On considère \( \vec{i'}(1; 1) \) et \( \vec{j'}(1; -1) \). Montrer que \( (\vec{i'}, \vec{j'}) \) forme une base.

SOLUTION
Vérification des bases
1 Pour \( (\vec{i}, \vec{j}) \) :
\( 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1 \neq 0 \)

Donc \( \vec{i} \) et \( \vec{j} \) ne sont pas colinéaires, ils forment une base.

2 Décomposition de \( \vec{u} \) :
\( \vec{u} = 3\vec{i} + 2\vec{j} \)

Les coordonnées de \( \vec{u} \) dans la base \( (\vec{i}, \vec{j}) \) sont (3; 2).

3 Pour \( (\vec{i'}, \vec{j'}) \) :
\( 1 \times (-1) - 1 \times 1 = -1 - 1 = -2 \neq 0 \)

Donc \( \vec{i'} \) et \( \vec{j'} \) ne sont pas colinéaires, ils forment une base.

Propriétés des bases

Caractéristiques fondamentales

PROPRIÉTÉS ESSENTIELLES
Caractéristiques d'une base
  • Deux vecteurs non colinéaires forment toujours une base du plan
  • La décomposition d'un vecteur dans une base est unique
  • Le plan a une dimension de 2 (besoin de 2 vecteurs pour une base)
  • Toutes les bases du plan ont le même nombre de vecteurs
RELATION AVEC LE DÉTERMINANT
Critère de formation de base

Soient deux vecteurs \( \vec{u}(x_1; y_1) \) et \( \vec{v}(x_2; y_2) \).

Ils forment une base du plan si et seulement si :

\( \det(\vec{u}, \vec{v}) = x_1y_2 - x_2y_1 \neq 0 \)

Autrement dit, ils ne sont pas colinéaires.

Une base permet de repérer n'importe quel point du plan

Applications en géométrie analytique

Utilisations pratiques

ÉQUATIONS DE DROITES
Vecteur directeur

Soit une droite passant par A(x₀, y₀) et de vecteur directeur \( \vec{u}(a, b) \).

L'équation paramétrique de la droite est :

\( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \)

Où t est le paramètre.

PRODUIT SCALAIRE
Dans une base orthonormée

Le produit scalaire de deux vecteurs \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \) est :

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 \)

Cela permet de calculer des angles et des distances.

Exercice 3

Problème complexe

ÉNONCÉ
Question

Dans un repère, on donne A(1; 2), B(4; 3), C(2; 5) et D(-1; 4).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{DC} \).

2. Montrer que ABCD est un parallélogramme.

3. Calculer les coordonnées du centre de ce parallélogramme.

SOLUTION
Calcul pas à pas
1 Coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) :
\( \overrightarrow{AB} = (4-1; 3-2) = (3; 1) \)
2 Coordonnées de \( \overrightarrow{DC} \) :
\( \overrightarrow{DC} = (2-(-1); 5-4) = (3; 1) \)
3 ABCD est un parallélogramme :

Comme \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

4 Centre du parallélogramme :

Le centre est le milieu de [AC] ou [BD].
Milieu de [AC] : \( \left( \frac{1+2}{2}; \frac{2+5}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}; \frac{7}{2} \right) \)

Résumé

Points clés

DÉFINITIONS ESSENTIELLES
Vecteurs colinéaires
  • Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel k tel que \( \vec{v} = k\vec{u} \)
  • Critère : \( x_1y_2 - x_2y_1 = 0 \) dans un repère
  • Utilisation : alignement de points, parallélisme de droites
Base du plan
  • Deux vecteurs non colinéaires forment une base
  • Tout vecteur se décompose de manière unique dans une base
  • La base canonique est \( (\vec{i}(1,0), \vec{j}(0,1)) \)
Applications
  • Représentation de points et vecteurs
  • Calcul de distances et d'angles
  • Résolution de problèmes géométriques
Maîtrisez ces concepts pour réussir en géométrie analytique !

Conclusion

Félicitations !

FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DES VECTEURS COLINÉAIRES ET DES BASES
Vous comprenez maintenant les bases de la géométrie vectorielle !

Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences

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