Coordonnées de Vecteurs dans le Plan - Cours Complet

Dans un repère \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), un vecteur \( \overrightarrow{AB} \) avec \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \) a pour coordonnées :

On note aussi : \( \overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A) \)

Soit A(2; 3) et B(5; 7). Alors :

Les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) sont (3; 4).

Dans un repère \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), un point M est caractérisé par ses coordonnées \( (x_M; y_M) \) telles que :

On dit que M a pour coordonnées \( (x_M; y_M) \) ou que \( M(x_M; y_M) \).

Le vecteur \( \overrightarrow{OM} \) a les mêmes coordonnées que le point M.

Plus généralement, si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors :

Donc les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) sont \( (x_B - x_A; y_B - y_A) \).

Soit \( \vec{u}(x_1; y_1) \) et \( \vec{v}(x_2; y_2) \). Alors :

Les coordonnées de la somme sont la somme des coordonnées.

Soit \( \vec{u}(x; y) \) et k un réel. Alors :

Les coordonnées du produit sont le produit des coordonnées par le réel.

Soit \( \vec{u}(2; -3) \) et \( \vec{v}(-1; 4) \).

Soit A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B) deux points du plan. La distance AB est donnée par :

Cette distance est égale à la norme du vecteur \( \overrightarrow{AB} \).

Si \( \overrightarrow{AB}(x; y) \), alors la norme de \( \overrightarrow{AB} \) est :

Donc \( AB = ||\overrightarrow{AB}|| \).

Soit A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B) deux points du plan. Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :

Le milieu est le point qui partage le segment en deux parties égales.

Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si :

En coordonnées, cela revient à prendre la moyenne des coordonnées de A et B.

Deux vecteurs \( \vec{u}(x_1; y_1) \) et \( \vec{v}(x_2; y_2) \) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

Autrement dit, les coordonnées sont proportionnelles.

• Alignement de points : A, B, C sont alignés si \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires
• Parallélisme de droites : (AB) // (CD) si \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont colinéaires
• Calcul de l'aire d'un parallélogramme

1 Coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) :
2 Coordonnées de \( \overrightarrow{DC} \) :
3 Égalité des vecteurs :

Comme \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

4 Nature du quadrilatère :

ABCD est un parallélogramme.

5 Calcul du périmètre :

1 \( \overrightarrow{AB} = (3-(-2); 4-1) = (5; 3) \)
2 \( \overrightarrow{AC} = (1-(-2); -2-1) = (3; -3) \)
3 \( \overrightarrow{BC} = (1-3; -2-4) = (-2; -6) \)
4 Distance AB :
5 Point D pour parallélogramme ABCD :

ABCD est un parallélogramme si \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), donc \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \).
Si D(x;y), alors \( \overrightarrow{AD} = (x-(-2); y-1) = (x+2; y-1) \).
Donc \( (x+2; y-1) = (-2; -6) \).
D'où \( x = -4 \) et \( y = -5 \).
Le point D a pour coordonnées (-4; -5).

1 \( \vec{u} + \vec{v} = (2-1; -3+4) = (1; 1) \)
2 \( 3\vec{u} - 2\vec{v} = 3(2; -3) - 2(-1; 4) = (6; -9) - (-2; 8) = (8; -17) \)
3 \( -\vec{u} + 4\vec{v} = -(2; -3) + 4(-1; 4) = (-2; 3) + (-4; 16) = (-6; 19) \)
4 Colinéarité de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) :

Donc \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont non colinéaires.

5 Expression de \( \vec{w} \) :

On cherche \( a \) et \( b \) tels que \( \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \).
\( (7; -10) = a(2; -3) + b(-1; 4) = (2a-b; -3a+4b) \).
D'où le système :
\( \begin{cases} 2a - b = 7 \\ -3a + 4b = -10 \end{cases} \)
De la première équation : \( b = 2a - 7 \).
En remplaçant dans la deuxième :
\( -3a + 4(2a - 7) = -10 \Rightarrow -3a + 8a - 28 = -10 \Rightarrow 5a = 18 \Rightarrow a = \frac{18}{5} \).
Donc \( b = 2 \times \frac{18}{5} - 7 = \frac{36}{5} - \frac{35}{5} = \frac{1}{5} \).
Ainsi, \( \vec{w} = \frac{18}{5}\vec{u} + \frac{1}{5}\vec{v} \).

• Les coordonnées de la somme de deux vecteurs sont la somme des coordonnées
• Les coordonnées du produit d'un vecteur par un réel sont le produit des coordonnées par ce réel
• Les coordonnées du vecteur nul sont (0; 0)
• Les coordonnées de l'opposé d'un vecteur sont les opposés des coordonnées

Pour tous points A, B, C :

En coordonnées : si A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C), alors :

Soit une droite passant par A(x₀, y₀) et de vecteur directeur \( \vec{u}(a, b) \).

Un point M(x, y) appartient à cette droite si et seulement si \( \overrightarrow{AM} \) et \( \vec{u} \) sont colinéaires.

Le produit scalaire de deux vecteurs \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \) est :

Cela permet de déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs.

1 Calcul des côtés :

Tous les côtés ont la même longueur, donc ABCD est un losange.

2 Calcul de l'aire :

L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit des diagonales.
\( \overrightarrow{AC} = (2; 4) \Rightarrow AC = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( \overrightarrow{BD} = (-4; 2) \Rightarrow BD = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Aire = \( \frac{AC \times BD}{2} = \frac{2\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).

3 Point d'intersection des diagonales :

Le point d'intersection est le milieu de [AC] ou de [BD].
Milieu de [AC] : \( \left( \frac{1+3}{2}; \frac{2+6}{2} \right) = (2; 4) \).

• Coordonnées d'un vecteur \( \overrightarrow{AB} \) : (x_B - x_A, y_B - y_A)
• Coordonnées d'un point M dans un repère : (x_M, y_M)
• Coordonnées du milieu I de [AB] : \( \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right) \)

• Addition : \( (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2) \)
• Multiplication par un réel : \( k(x, y) = (kx, ky) \)
• Distance : \( AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)

• Colinéarité : \( x_1y_2 - x_2y_1 = 0 \)
• Alignement de points
• Parallélisme de droites
• Calcul d'aires et de périmètres