Applications du Calcul Vectoriel à la Géométrie - Cours Complet

Soit I le milieu du segment [AB]. Alors :

De plus, pour tout point M du plan :

Si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors les coordonnées du milieu I sont :

Pour un triangle ABC, la relation de Chasles s'applique :

Cette relation exprime que le contour du triangle est fermé.

Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Alors :

De plus, pour tout point M du plan :

La droite passant par A(x₀, y₀) et de vecteur directeur \( \vec{u}(a, b) \) a pour équation paramétrique :

Où t est le paramètre réel.

Soit un point A(x₀, y₀) et un vecteur normal \( \vec{n}(a, b) \). L'équation cartésienne de la droite est :

Avec \( c = -(ax_0 + by_0) \).

Soit Ω(a, b) le centre d'un cercle de rayon r. Un point M(x, y) appartient au cercle si et seulement si :

Ce qui se traduit par l'équation cartésienne :

Le cercle de centre Ω(a, b) et de rayon r peut aussi être défini paramétriquement :

Où t est le paramètre variant de 0 à 2π.

Soit deux vecteurs \( \vec{u}(x_1, y_1) \) et \( \vec{v}(x_2, y_2) \). Leur produit scalaire est :

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

• Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
• Deux droites sont perpendiculaires si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre
• Un triangle est rectangle si et seulement si un de ses côtés vérifie le théorème de Pythagore

1 Calcul des côtés :

Tous les côtés ont la même longueur, donc ABCD est un losange.

2 Calcul de l'aire :

L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit des diagonales.
\( \overrightarrow{AC} = (2; 4) \Rightarrow AC = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( \overrightarrow{BD} = (-4; 2) \Rightarrow BD = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
Aire = \( \frac{AC \times BD}{2} = \frac{2\sqrt{5} \times 2\sqrt{5}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).

3 Point d'intersection des diagonales :

Le point d'intersection est le milieu de [AC] ou de [BD].
Milieu de [AC] : \( \left( \frac{1+3}{2}; \frac{2+6}{2} \right) = (2; 4) \).

1 \( \overrightarrow{AB} = (3-(-2); 4-1) = (5; 3) \)
2 \( \overrightarrow{AC} = (1-(-2); -2-1) = (3; -3) \)
3 \( \overrightarrow{BC} = (1-3; -2-4) = (-2; -6) \)
4 Distance AB :
5 Point D pour parallélogramme ABCD :

ABCD est un parallélogramme si \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), donc \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \).
Si D(x;y), alors \( \overrightarrow{AD} = (x-(-2); y-1) = (x+2; y-1) \).
Donc \( (x+2; y-1) = (-2; -6) \).
D'où \( x = -4 \) et \( y = -5 \).
Le point D a pour coordonnées (-4; -5).

1 Coordonnées de G :
2 Vérification de la relation :
3 Calcul de l'aire :

On utilise la formule : Aire = \( \frac{1}{2}|x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)| \)
Aire = \( \frac{1}{2}|2(3-4) + 5(4-1) + 1(1-3)| = \frac{1}{2}|2(-1) + 5(3) + 1(-2)| = \frac{1}{2}|-2+15-2| = \frac{1}{2}|11| = \frac{11}{2} \)

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires.

Cela signifie que \( \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} \) pour un certain réel k.

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont colinéaires.

Autrement dit, \( \overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB} \) pour un certain réel k non nul.

Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) sont orthogonaux.

Cela signifie que \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \).

1 Démonstration que ABCD est un rectangle :

Les côtés opposés sont égaux et parallèles, donc c'est un parallélogramme.
De plus, \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \times 0 + 0 \times 3 = 0 \), donc l'angle en B est droit.
Donc ABCD est un rectangle.

2 Centre du cercle circonscrit :

Le centre du cercle circonscrit à un rectangle est le point d'intersection des diagonales.
Milieu de [AC] : \( \left( \frac{0+4}{2}; \frac{0+3}{2} \right) = (2; 1.5) \).
Milieu de [BD] : \( \left( \frac{4+0}{2}; \frac{0+3}{2} \right) = (2; 1.5) \).
Donc le centre est Ω(2; 1.5).

3 Rayon du cercle :

Le rayon est la distance entre le centre et un sommet.
\( r = \Omega A = \sqrt{(2-0)^2 + (1.5-0)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \).

• ABCD est un parallélogramme si \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \)
• Les diagonales se coupent en leur milieu
• Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur

• Relation de Chasles : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0} \)
• Centre de gravité : \( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} \)
• Les médianes se coupent au centre de gravité

• Équation : \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) avec centre Ω(a,b) et rayon r
• Le centre du cercle circonscrit est équidistant des sommets
• Le centre est à l'intersection des médiatrices