Coordonnées d'un vecteur
Vecteur ⃗AB : ⃗AB = (xB-xA, yB-yA)
Coordonnées dans une base : ⃗u = x⃗i + y⃗j
Norme d'un vecteur : ||⃗u|| = √(x² + y²)
\( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} \)
\( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Exemple 1 - Coordonnées :
A(2,3), B(5,7)
⃗AB = (5-2, 7-3) = (3,4)
||⃗AB|| = √(9+16) = 5
⃗AB = (5-2, 7-3) = (3,4)
||⃗AB|| = √(9+16) = 5
Exemple 2 - Base :
⃗u = 2⃗i + 3⃗j
Coordonnées de ⃗u : (2,3)
||⃗u|| = √(4+9) = √13
Coordonnées de ⃗u : (2,3)
||⃗u|| = √(4+9) = √13
Opérations avec les coordonnées
Addition : ⃗u + ⃗v = (x₁+x₂, y₁+y₂)
Multiplication scalaire : k⃗u = (kx, ky)
Soustraction : ⃗u - ⃗v = (x₁-x₂, y₁-y₂)
Propriétés importantes
Coordonnées milieu : I = ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2)
Distance AB : AB = ||⃗AB|| = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²]
Colinéarité : ⃗u et ⃗v colinéaires ⟺ xy' - x'y = 0
Calculs dans un repère
Coordonnées d'un point
Distance entre deux points
Milieu d'un segment
Opérations vectorielles
Conseils & Astuces
Toujours soustraire les coordonnées dans le bon ordre
Vérifier la cohérence des calculs
Utiliser les coordonnées pour prouver des propriétés
Appliquer les formules systématiquement
Les coordonnées permettent de résoudre des problèmes géométriques
Exemples complets
Calcul de distance :
A(1,2), B(4,6)
⃗AB = (3,4)
AB = √(9+16) = 5
⃗AB = (3,4)
AB = √(9+16) = 5
Milieu d'un segment :
A(-1,3), B(5,7)
I = ((-1+5)/2, (3+7)/2) = (2,5)
I = ((-1+5)/2, (3+7)/2) = (2,5)
Combinaison linéaire :
⃗u = (2,1), ⃗v = (3,-2)
2⃗u - ⃗v = (4,2) - (3,-2) = (1,4)
2⃗u - ⃗v = (4,2) - (3,-2) = (1,4)
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Confondre coordonnées d'un point et d'un vecteur
Erreur 2 :
Inverser l'ordre des points dans les coordonnées du vecteur
Erreur 3 :
Oublier la racine carrée dans le calcul de la norme