Vecteurs en Géométrie Plane - Définition et Opérations

Le vecteur nul est noté \( \vec{0} \) ou \( \overrightarrow{AA} \). Il a une norme nulle et une direction indéterminée.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Le vecteur opposé de \( \overrightarrow{AB} \) est \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \).

Pour additionner deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) :

• Placer les vecteurs à partir d'un même point O
• Construire le parallélogramme OACB
• Le vecteur somme est \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} \)

Soit \( k \) un réel et \( \overrightarrow{u} \) un vecteur. Le produit \( k\overrightarrow{u} \) est :

• Le vecteur nul si \( k = 0 \) ou \( \overrightarrow{u} = \vec{0} \)
• Sinon, un vecteur ayant :
  • La même direction que \( \overrightarrow{u} \)
  • Le même sens que \( \overrightarrow{u} \) si \( k > 0 \)
  • Le sens opposé à \( \overrightarrow{u} \) si \( k < 0 \)
  • Une norme égale à \( |k| \) fois la norme de \( \overrightarrow{u} \)

Deux vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont colinéaires s'il existe un réel \( k \) tel que :

Autrement dit, les vecteurs ont la même direction (éventuellement opposée).

Dans un repère, deux vecteurs \( \overrightarrow{u}(x_1; y_1) \) et \( \overrightarrow{v}(x_2; y_2) \) sont colinéaires si et seulement si :

Dans un repère \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) avec \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \) a pour coordonnées :

La norme (ou longueur) d'un vecteur \( \overrightarrow{u}(x; y) \) dans un repère orthonormé est :

Pour un vecteur \( \overrightarrow{AB} \) avec \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B; y_B) \) :

La norme du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) représente la distance entre les points A et B.

• Caractérisation de l'alignement de points
• Détermination de milieux
• Vérification de parallélisme
• Recherche de points d'intersection

• Vitesse
• Accélération
• Force
• Champ électrique

1 Coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \) :
2 Coordonnées de \( \overrightarrow{AC} \) :
3 Alignement :

Donc les vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés.

1 \( \overrightarrow{AB} \left( \begin{array}{c} 3-(-1) \\ 5-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) \)
2 \( \overrightarrow{BC} \left( \begin{array}{c} 7-3 \\ 8-5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) \)
3 \( ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
4 \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} \), donc les points sont alignés.

1 Calcul de \( 2\overrightarrow{u} \) :
2 Calcul de \( 3\overrightarrow{v} \) :
3 Calcul de \( \overrightarrow{w} \) :

• Commutativité : \( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \)
• Associativité : \( (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) \)
• Élément neutre : \( \overrightarrow{u} + \vec{0} = \overrightarrow{u} \)
• Symétrique : \( \overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \vec{0} \)

• Distributivité : \( k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v} \)
• Associativité : \( (kl)\overrightarrow{u} = k(l\overrightarrow{u}) \)
• Élément neutre : \( 1\overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} \)

Pour trois points A, B et C quelconques :

Cette relation exprime que pour aller de A à C, on peut passer par un point intermédiaire B.

• \( \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} \)
• \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0} \)
• \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \) (dans un repère)

I est le milieu du segment [AB] si et seulement si :

Ou encore :

Si A(x_A; y_A) et B(x_B; y_B), alors les coordonnées du milieu I sont :

• Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme
• Notation : \( \overrightarrow{AB} \)
• Origine A et extrémité B

• Addition : règle du parallélogramme
• Multiplication par un réel : modification de la norme et du sens
• Relation de Chasles : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \)

• Coordonnées dans un repère
• Calcul de norme (distance)
• Alignement de points
• Milieu d'un segment