Définition des vecteurs
Vecteur : Objet mathématique défini par direction, sens et norme
Coordonnées : Vecteur ⃗AB = (xB-xA, yB-yA)
Norme : ||⃗v|| = √(x² + y²)
\( \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)
\( ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Exemple 1 - Coordonnées :
A(2,1), B(5,4)
⃗AB = (3,3)
||⃗AB|| = √(9+9) = 3√2
⃗AB = (3,3)
||⃗AB|| = √(9+9) = 3√2
Exemple 2 - Égalité :
⃗u = (2,3), ⃗v = (2,3)
⃗u = ⃗v car mêmes coordonnées
⃗u = ⃗v car mêmes coordonnées
Opérations vectorielles
Addition : ⃗u + ⃗v = (x₁+x₂, y₁+y₂)
Multiplication scalaire : k⃗u = (kx, ky)
Opposé : -⃗u = (-x, -y)
Propriétés importantes
Commutativité : ⃗u + ⃗v = ⃗v + ⃗u
Associativité : (⃗u + ⃗v) + ⃗w = ⃗u + (⃗v + ⃗w)
Distributivité : k(⃗u + ⃗v) = k⃗u + k⃗v
Opérations avec les coordonnées
Addition : composantes séparément
Multiplication : tous × scalaire
Soustraction : addition de l'opposé
Norme : distance entre points
Conseils & Astuces
Toujours tracer les vecteurs pour visualiser
Attention à l'ordre des points pour les coordonnées
Vérifier la cohérence des unités
Utiliser la relation de Chasles
Les vecteurs libres sont indépendants du point d'application
Exemples complets
Addition vectorielle :
⃗u = (2,3), ⃗v = (1,-2)
⃗u + ⃗v = (3,1)
||⃗u + ⃗v|| = √10
⃗u + ⃗v = (3,1)
||⃗u + ⃗v|| = √10
Multiplication scalaire :
⃗u = (3,4), k = 2
k⃗u = (6,8)
||k⃗u|| = 2||⃗u|| = 10
k⃗u = (6,8)
||k⃗u|| = 2||⃗u|| = 10
Relation de Chasles :
⃗AB + ⃗BC = ⃗AC
Permet de décomposer les vecteurs
Permet de décomposer les vecteurs
Erreurs fréquentes
Erreur 1 :
Confondre coordonnées d'un point et d'un vecteur
Erreur 2 :
Oublier la soustraction des coordonnées pour les vecteurs
Erreur 3 :
Calculer incorrectement la norme (oublier la racine carrée)
