Vecteur : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par deux points A et B, et caractérisé par une direction, un sens et une norme.
- Identifier les coordonnées des points A et B
- Appliquer la formule : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
- Calculer les coordonnées du vecteur
- Vérifier la cohérence du résultat
Point A(2, 3) donc \(x_A = 2\) et \(y_A = 3\)
Point B(5, 7) donc \(x_B = 5\) et \(y_B = 7\)
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
\(\overrightarrow{AB} = (5 - 2, 7 - 3)\)
\(\overrightarrow{AB} = (3, 4)\)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a une abscisse de 3 (déplacement de 3 unités vers la droite)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a une ordonnée de 4 (déplacement de 4 unités vers le haut)
Cela correspond bien au passage de A(2,3) à B(5,7)
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement de A vers B
Sa norme est \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont (3, 4).
• Coordonnées d'un vecteur : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
• Direction et sens : Du point de départ vers le point d'arrivée
• Norme du vecteur : \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
Opérations sur les vecteurs : Addition, soustraction et multiplication par un scalaire se font coordonnée par coordonnée.
\(\overrightarrow{u} = (3, -2)\)
\(\overrightarrow{v} = (-1, 4)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (3, -2) + (-1, 4)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (3 + (-1), -2 + 4)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2, 2)\)
\(2\overrightarrow{u} = 2(3, -2)\)
\(2\overrightarrow{u} = (2 \times 3, 2 \times (-2))\)
\(2\overrightarrow{u} = (6, -4)\)
\(3\overrightarrow{v} = 3(-1, 4)\)
\(3\overrightarrow{v} = (3 \times (-1), 3 \times 4)\)
\(3\overrightarrow{v} = (-3, 12)\)
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (6, -4) - (-3, 12)\)
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (6 - (-3), -4 - 12)\)
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (9, -16)\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2, 2)\) ✓
\(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (9, -16)\) ✓
Les opérations sont distributives : \(k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}\)
La multiplication par un scalaire est associative : \(k(l\overrightarrow{u}) = (kl)\overrightarrow{u}\)
\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (2, 2)\) et \(2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} = (9, -16)\).
• Addition : \((x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)\)
• Multiplication par un scalaire : \(k(x, y) = (kx, ky)\)
• Soustraction : \((x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1-x_2, y_1-y_2)\)
Multiplication par un scalaire : Multiplier un vecteur par un nombre réel \(k\) change sa norme par un facteur \(|k|\) et éventuellement son sens si \(k < 0\).
\(\overrightarrow{u} = (2, -1)\)
Scalaire : \(k = -3\)
\(-3\overrightarrow{u} = -3(2, -1)\)
\(-3\overrightarrow{u} = (-3 \times 2, -3 \times (-1))\)
\(-3\overrightarrow{u} = (-6, 3)\)
\(\overrightarrow{u} = (2, -1)\) a une norme de \(\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\)
\(-3\overrightarrow{u} = (-6, 3)\) a une norme de \(\sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
La norme est multipliée par 3 (valeur absolue de -3)
Le sens est inversé (multiplicateur négatif)
\(\overrightarrow{u}\) pointe vers le haut-droite
\(-3\overrightarrow{u}\) pointe vers le bas-gauche
\(-3\overrightarrow{u}\) est 3 fois plus long que \(\overrightarrow{u}\)
Si \(k > 0\), le sens est conservé
Si \(k < 0\), le sens est inversé
La norme est multipliée par \(|k|\)
Cette opération est utile pour :
- Changer l'échelle d'un vecteur
- Inverser un vecteur (multiplication par -1)
- Calculer des combinaisons linéaires
\(-3\overrightarrow{u} = (-6, 3)\). Le vecteur est 3 fois plus long que \(\overrightarrow{u}\) et de sens opposé.
• Multiplication par un scalaire : \(k(x, y) = (kx, ky)\)
• Norme : \(\|k\overrightarrow{u}\| = |k| \cdot \|\overrightarrow{u}\|\)
• Sens : Conservé si \(k > 0\), inversé si \(k < 0\)
Relation de Chasles : Pour trois points A, B, C, on a \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
A(1, 2), donc \(x_A = 1\) et \(y_A = 2\)
B(4, 5), donc \(x_B = 4\) et \(y_B = 5\)
C(6, 1), donc \(x_C = 6\) et \(y_C = 1\)
\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
\(\overrightarrow{AB} = (4 - 1, 5 - 2)\)
\(\overrightarrow{AB} = (3, 3)\)
\(\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B)\)
\(\overrightarrow{BC} = (6 - 4, 1 - 5)\)
\(\overrightarrow{BC} = (2, -4)\)
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3, 3) + (2, -4)\)
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3 + 2, 3 + (-4))\)
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (5, -1)\)
\(\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)\)
\(\overrightarrow{AC} = (6 - 1, 1 - 2)\)
\(\overrightarrow{AC} = (5, -1)\)
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (5, -1)\)
\(\overrightarrow{AC} = (5, -1)\)
Donc \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) ✓
Le déplacement de A vers C est équivalent au déplacement de A vers B puis de B vers C
Cette propriété est fondamentale en géométrie vectorielle
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (5, -1)\) et \(\overrightarrow{AC} = (5, -1)\), donc la relation de Chasles est vérifiée.
• Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
• Coordonnées : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
• Addition : \((x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)\)
Combinaison linéaire : Expression de la forme \(a\overrightarrow{u} + b\overrightarrow{v} + c\overrightarrow{w}\) où \(a, b, c\) sont des scalaires.
\(\overrightarrow{u} = (1, 3)\)
\(\overrightarrow{v} = (2, -1)\)
\(\overrightarrow{w} = (-1, 2)\)
Calculer : \(2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} + 3\overrightarrow{w}\)
\(2\overrightarrow{u} = 2(1, 3) = (2, 6)\)
\(-\overrightarrow{v} = -(2, -1) = (-2, 1)\)
\(3\overrightarrow{w} = 3(-1, 2) = (-3, 6)\)
\(2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} + 3\overrightarrow{w} = (2, 6) + (-2, 1) + (-3, 6)\)
\(= (2 + (-2) + (-3), 6 + 1 + 6)\)
\(= (-3, 13)\)
Abscisses : \(2 + (-2) + (-3) = 0 - 3 = -3\) ✓
Ordonnées : \(6 + 1 + 6 = 13\) ✓
Les combinaisons linéaires permettent :
- De générer de nouveaux vecteurs
- De déterminer si des vecteurs sont colinéaires
- De résoudre des systèmes vectoriels
- De démontrer des propriétés géométriques
Les combinaisons linéaires sont utilisées dans :
- La résolution de systèmes d'équations
- La détermination de bases vectorielles
- La physique (composantes de forces)
- La géométrie analytique
\(2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} + 3\overrightarrow{w} = (-3, 13)\).
• Combinaison linéaire : Effectuer d'abord les multiplications par scalaires, puis les additions
• Ordre des opérations : Priorité à la multiplication sur l'addition
• Coordonnées : Calculer séparément les abscisses et les ordonnées
- Addition : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (x_u + x_v, y_u + y_v)\)
- Soustraction : \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (x_u - x_v, y_u - y_v)\)
- Multiplication par un scalaire : \(k\overrightarrow{u} = (kx_u, ky_u)\)
- Coordonnées d'un vecteur : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
- Norme d'un vecteur : \(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2}\)
- Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
- L'addition de vecteurs est commutative : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\)
- L'addition de vecteurs est associative : \((\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})\)
- Le vecteur nul est l'élément neutre : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}\)
- Tout vecteur a un opposé : \(\overrightarrow{u} + (-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}\)
- La multiplication est distributive : \(k(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = k\overrightarrow{u} + k\overrightarrow{v}\)
- Translation : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) définit une translation qui transforme A en B
- Égalité de vecteurs : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si ABCD est un parallélogramme
- Colinéarité : \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires s'il existe \(k\) tel que \(\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}\)
- Orthogonalité : \(\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}\) si \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)
