Applications du Produit Scalaire - Distances et Projections - Cours Complet

Soit une droite (d) d'équation cartésienne \( ax + by + c = 0 \) et un point M(x_M, y_M). La distance de M à la droite (d) est :

Cette distance est la longueur du segment reliant M à sa projection orthogonale H sur la droite (d).

Soit H la projection orthogonale de M sur la droite (d). Alors :

• H appartient à (d) : \( ax_H + by_H + c = 0 \)
• Le vecteur \( \overrightarrow{MH} \) est colinéaire au vecteur normal \( \vec{n}(a, b) \)
• Donc : \( \overrightarrow{MH} = k\vec{n} \) pour un certain réel k

La distance est : \( d(M, (d)) = ||\overrightarrow{MH}|| = |k| \times ||\vec{n}|| = |k| \times \sqrt{a^2 + b^2} \)

Soit M un point du plan et (d) une droite. La projection orthogonale de M sur (d) est le point H de la droite (d) tel que la droite (MH) est perpendiculaire à (d).

Le point H est le point de la droite (d) le plus proche de M.

Soit \( \vec{u} \) un vecteur et \( \vec{v} \) un vecteur directeur d'une droite. La projection orthogonale de \( \vec{u} \) sur la droite dirigée par \( \vec{v} \) est :

La norme de cette projection est : \( ||\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}|| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{||\vec{v}||} \)

La hauteur issue d'un sommet d'un triangle est la distance de ce sommet à la droite opposée.

Soit un triangle ABC. La hauteur issue de C est la distance de C à la droite (AB).

Si (AB) a pour équation ax + by + c = 0, alors la hauteur est : \( h = \frac{|ax_C + by_C + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)

La médiatrice d'un segment [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que MA = MB.

Un point M appartient à la médiatrice de [AB] si et seulement si M est équidistant de A et B.

La bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des deux côtés de l'angle.

Un point M appartient à la bissectrice de l'angle formé par deux droites si et seulement si sa distance à chaque droite est la même.

Un cercle de centre Ω(a, b) et de rayon r est l'ensemble des points M(x, y) tels que la distance MΩ est égale à r.

Cette équation se déduit directement de la formule de distance : \( ||\overrightarrow{\Omega M}|| = r \).

Un cercle peut aussi être défini par une équation de la forme :

Pour identifier le centre et le rayon, on complète le carré :

1 Distance de A à (d) :
2 Coordonnées de H :

La droite (AH) est perpendiculaire à (d), donc son vecteur directeur est (3, -4).
L'équation de (AH) est : \( \frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{-4} \), soit \( 4x + 3y - 17 = 0 \).
Pour trouver H, on résout le système :
\( \begin{cases} 3x - 4y + 5 = 0 \\ 4x + 3y - 17 = 0 \end{cases} \)
En multipliant la première équation par 3 et la deuxième par 4 :
\( \begin{cases} 9x - 12y + 15 = 0 \\ 16x + 12y - 68 = 0 \end{cases} \)
En ajoutant : \( 25x - 53 = 0 \), donc \( x = \frac{53}{25} \).
En reportant : \( y = \frac{3 \times \frac{53}{25} + 5}{4} = \frac{\frac{159}{25} + \frac{125}{25}}{4} = \frac{284}{100} = \frac{71}{25} \).
Donc \( H\left(\frac{53}{25}; \frac{71}{25}\right) \).

3 Équation du cercle :

Le cercle de centre A(2, 3) tangent à (d) a pour rayon la distance de A à (d), soit \( r = \frac{1}{5} \).
L'équation du cercle est : \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25} \).

1 Distance AB :
2 Équation de (AB) et distance :

Le vecteur \( \overrightarrow{AB} = (3; 1) \).
Un vecteur normal à (AB) est \( \vec{n} = (1; -3) \).
L'équation de (AB) est de la forme x - 3y + c = 0.
A(1; 2) ∈ (AB) ⇒ 1 - 3×2 + c = 0 ⇒ c = 5.
Donc (AB) : x - 3y + 5 = 0.
Distance de C(2; 6) à (AB) : \( d = \frac{|1×2 - 3×6 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|2 - 18 + 5|}{\sqrt{10}} = \frac{11}{\sqrt{10}} \).

3 Aire du triangle :

L'aire d'un triangle est \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \).
Aire = \( \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \frac{11}{\sqrt{10}} = \frac{11}{2} \).

1 Projection orthogonale :

On a \( \overrightarrow{OA} = (3; 4) \) et \( \vec{u} = (2; 1) \).
La projection est : \( \text{proj}_{\vec{u}}\overrightarrow{OA} = \frac{\overrightarrow{OA} \cdot \vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u} \).
\( \overrightarrow{OA} \cdot \vec{u} = 3 \times 2 + 4 \times 1 = 10 \).
\( ||\vec{u}||^2 = 2^2 + 1^2 = 5 \).
Donc : \( \text{proj}_{\vec{u}}\overrightarrow{OA} = \frac{10}{5}(2; 1) = 2(2; 1) = (4; 2) \).

2 Norme de la projection :
3 Interprétation géométrique :

La projection orthogonale de \( \overrightarrow{OA} \) sur \( \vec{u} \) est le vecteur de la droite dirigée par \( \vec{u} \) qui est le plus proche de \( \overrightarrow{OA} \). Sa norme représente la longueur de la projection du point A sur la droite dirigée par \( \vec{u} \) depuis l'origine O.

La projection orthogonale est une application linéaire :

• \( \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u_1} + \vec{u_2}) = \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u_1} + \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u_2} \)
• \( \text{proj}_{\vec{v}}(k\vec{u}) = k\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} \) pour tout réel k

Pour tout vecteur \( \vec{u} \) et tout vecteur non nul \( \vec{v} \), on a :

Ceci est une généralisation du théorème de Pythagore.

Pour tous vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) :

L'égalité est atteinte si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.

Une droite est tangente à un cercle si et seulement si la distance du centre du cercle à la droite est égale au rayon du cercle.

Soit un cercle de centre Ω(a, b) et de rayon r, et une droite (d) : αx + βy + γ = 0.
La droite est tangente au cercle si et seulement si :
\( \frac{|\alpha a + \beta b + \gamma|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} = r \)

Soient deux droites (d₁) : a₁x + b₁y + c₁ = 0 et (d₂) : a₂x + b₂y + c₂ = 0.
La bissectrice de l'angle formé par ces droites a pour équation :
\( \frac{|a_1x + b_1y + c_1|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}} = \frac{|a_2x + b_2y + c_2|}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \)

L'aire d'un triangle ABC peut être calculée en prenant une base (par exemple AB) et la hauteur correspondante (distance de C à la droite (AB)) :
\( \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times AB \times d(C, (AB)) \)

1 Position relative :

Calculons la distance du centre Ω(2; 3) à la droite (d) : x + 2y - 7 = 0.
\( d(\Omega, (d)) = \frac{|1 \times 2 + 2 \times 3 - 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 6 - 7|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \).
Comme \( \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.45 < 4 \), la droite coupe le cercle en deux points.

2 Points d'intersection :

Résolvons le système :
\( \begin{cases} (x-2)^2 + (y-3)^2 = 16 \\ x + 2y - 7 = 0 \end{cases} \)
De la deuxième équation : x = 7 - 2y.
Substituons dans la première : (7 - 2y - 2)² + (y - 3)² = 16
(5 - 2y)² + (y - 3)² = 16
25 - 20y + 4y² + y² - 6y + 9 = 16
5y² - 26y + 18 = 0
\( \Delta = 676 - 360 = 316 \), \( y = \frac{26 \pm \sqrt{316}}{10} = \frac{26 \pm 2\sqrt{79}}{10} = \frac{13 \pm \sqrt{79}}{5} \)
Les points d'intersection sont :
\( A\left(7 - 2 \times \frac{13 + \sqrt{79}}{5}, \frac{13 + \sqrt{79}}{5}\right) \) et \( B\left(7 - 2 \times \frac{13 - \sqrt{79}}{5}, \frac{13 - \sqrt{79}}{5}\right) \)

3 Longueur de la corde :

La longueur de la corde est AB. On peut utiliser la formule :
\( AB = 2\sqrt{r^2 - d^2} \) où d est la distance du centre à la droite.
\( AB = 2\sqrt{16 - \frac{1}{5}} = 2\sqrt{\frac{80-1}{5}} = 2\sqrt{\frac{79}{5}} = \frac{2\sqrt{395}}{5} \)

• Distance entre deux points : \( AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} \)
• Distance point-droite : \( d(M, (d)) = \frac{|ax_M + by_M + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
• Équation du cercle : \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)

• Projection d'un vecteur : \( \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{v}||^2}\vec{v} \)
• Projection orthogonale d'un point sur une droite
• La projection minimise la distance

• Calcul de hauteurs dans les triangles
• Équations de tangentes à un cercle
• Calcul d'aires et de longueurs
• Positions relatives de figures géométriques