Distance point-droite : Pour un point A(\(x_A, y_A\)) et une droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(ax + by + c = 0\), la distance est : \(d(A, \mathcal{D}) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
- Identifier les coefficients a, b, c de l'équation de la droite
- Identifier les coordonnées du point A(\(x_A, y_A\))
- Appliquer la formule de la distance point-droite
- Calculer le numérateur et le dénominateur
- Donner le résultat
Point A(2,3), droite d'équation 3x - 4y + 1 = 0
Donc a = 3, b = -4, c = 1, \(x_A = 2\), \(y_A = 3\)
\(d(A, \mathcal{D}) = \frac{|3 \times 2 + (-4) \times 3 + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\)
\(d(A, \mathcal{D}) = \frac{|6 - 12 + 1|}{\sqrt{9 + 16}}\)
\(|6 - 12 + 1| = |-5| = 5\)
\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(d(A, \mathcal{D}) = \frac{5}{5} = 1\)
La distance du point A(2,3) à la droite 3x - 4y + 1 = 0 est égale à 1 unité.
• Formule : \(d(A, \mathcal{D}) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
• Valeur absolue : Le numérateur est toujours positif
• Calcul : Attention aux signes dans l'équation de la droite
Projection orthogonale : Le projeté H du point C sur la droite (AB) est le point de (AB) tel que \(\vec{CH} \perp \vec{AB}\).
\(\vec{AB} = B - A = (3,2) - (0,1) = (3,1)\)
\(\vec{AC} = C - A = (1,4) - (0,1) = (1,3)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 1 + 1 \times 3 = 3 + 3 = 6\)
\(||\vec{AB}||^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\)
\(\frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}||^2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
\(H = A + \frac{3}{5} \vec{AB}\)
\(H = (0,1) + \frac{3}{5}(3,1) = (0,1) + \left(\frac{9}{5}, \frac{3}{5}\right)\)
\(H = \left(0 + \frac{9}{5}, 1 + \frac{3}{5}\right) = \left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)\)
La projection orthogonale du point C(1,4) sur la droite (AB) est le point H\(\left(\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)\).
• Formule : \(H = A + \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}||^2} \vec{AB}\)
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
• Norme au carré : \(||\vec{u}||^2 = x^2 + y^2\)
Aire d'un triangle : \(A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\) ou \(A = \frac{1}{2}|\vec{AB} \wedge \vec{AC}|\).
A(0,0), B(4,0), C(2,3)
\(\vec{AB} = (4,0)\), \(\vec{AC} = (2,3)\)
\(A = \frac{1}{2}|x_{AB} \times y_{AC} - x_{AC} \times y_{AB}|\)
\(A = \frac{1}{2}|4 \times 3 - 2 \times 0|\)
\(A = \frac{1}{2}|12 - 0| = \frac{1}{2} \times 12 = 6\)
Base AB = 4, hauteur issue de C = 3 (ordonnée de C)
\(A = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6\) ✓
L'aire du triangle ABC est égale à 6 unités carrées.
• Aire avec déterminant : \(A = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\) pour \(\vec{AB}(x_1,y_1)\) et \(\vec{AC}(x_2,y_2)\)
• Base-hauteur : \(A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}\)
• Calcul : Le déterminant donne l'aire orientée
Hauteur d'un triangle : La hauteur issue de C est la distance du point C à la droite (AB).
A(0,0), B(4,0), C(2,3)
La droite (AB) a pour équation y = 0 (axe des abscisses)
La droite (AB) : y = 0, soit 0x + 1y + 0 = 0
Donc a = 0, b = 1, c = 0, point C(2,3)
\(d(C, (AB)) = \frac{|0 \times 2 + 1 \times 3 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3\)
La hauteur est la distance verticale de C à l'axe des abscisses
Ordonnée de C = 3, donc hauteur = 3 ✓
La hauteur du triangle ABC issue de C est égale à 3 unités.
• Hauteur : Distance du sommet à la droite opposée
• Distance point-droite : \(d = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
• Simplicité : Lorsque la droite est horizontale, la hauteur est l'ordonnée
Distance entre droites parallèles : Pour deux droites parallèles \(ax + by + c_1 = 0\) et \(ax + by + c_2 = 0\), la distance est : \(d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
d1: 2x - 3y + 1 = 0 → coefficients a = 2, b = -3
d2: 2x - 3y - 5 = 0 → coefficients a = 2, b = -3
Les coefficients de x et y sont identiques, donc les droites sont parallèles ✓
c1 = 1, c2 = -5
\(d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|1 - (-5)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}}\)
\(d = \frac{|1 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{13}}\)
\(d = \frac{6}{\sqrt{13}} \times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}\)
\(d = \frac{6\sqrt{13}}{13} \approx \frac{6 \times 3.606}{13} \approx \frac{21.636}{13} \approx 1.66\)
La distance entre les droites d1 et d2 est égale à \(\frac{6\sqrt{13}}{13}\) unités.
• Distance entre droites parallèles : \(d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
• Parallélisme : Vérifier que les coefficients de x et y sont proportionnels
• Rationalisation : Multiplier numérateur et dénominateur par \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
- Distance point-droite : \(d = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
- Projection orthogonale : \(H = A + \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{||\vec{AB}||^2} \vec{AB}\)
- Distance entre droites parallèles : \(d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
- Aire d'un triangle : \(A = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\)
- Hauteur d'un triangle : Distance du sommet à la droite opposée
- La distance d'un point à une droite est la plus courte distance entre ce point et un point de la droite
- La projection orthogonale minimise la distance entre un point et une droite
- La hauteur d'un triangle est la distance du sommet au côté opposé
- Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
- La distance entre deux droites parallèles est constante
