Mathématiques1ère

Coordonnées de points et repères
Exercices corrigés

Maîtrisez les coordonnées de points et les repères : repérage dans le plan, changement de repère et applications grâce à ces 5 exercices détaillés.

Concepts & Exercices
\(M(x,y) \text{ dans } (O,\vec{i},\vec{j}) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)
Repérage d'un point
Changement de repère
\(x' = x - x_O\), \(y' = y - y_O\)
Translation du repère
Milieu
\(I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\)
Coordonnées du milieu
Distance
\(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)
Distance entre deux points
🎯
Repère orthonormé : Un repère (O, I, J) est orthonormé si (OI) ⊥ (OJ) et OI = OJ = 1.
📏
Coordonnées d'un point : M(x,y) signifie que \(\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\).
📍
Changement de repère : Pour passer du repère (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) à (O', \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)), on translate les coordonnées.
📐
Calcul vectoriel : On peut additionner et multiplier les coordonnées des vecteurs.
Exercice 1
Dans le repère (O, I, J), on donne A(3, -2) et B(-1, 4). Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
Exercice 2
Soit A(2, 5) et B(6, -1). Calculer les coordonnées du point I, milieu de [AB].
Exercice 3
Calculer la distance entre les points A(1, 3) et B(4, 7).
Exercice 4
On considère le nouveau repère (O', \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) avec O'(2, -1). Trouver les nouvelles coordonnées de A(5, 3).
Exercice 5
Dans un repère, on a A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2). Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Corrigé : Exercices 1 à 3
1 Coordonnées d'un vecteur
Définition :

Coordonnées d'un vecteur : Si A(\(x_A, y_A\)) et B(\(x_B, y_B\)), alors \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées (\(x_B - x_A, y_B - y_A\)).

Méthode :
  1. Identifier les coordonnées des points A et B
  2. Appliquer la formule : \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\)
  3. Effectuer les calculs pour chaque coordonnée
Étape 1 : Identification des coordonnées

A(3, -2) donc \(x_A = 3\) et \(y_A = -2\)

B(-1, 4) donc \(x_B = -1\) et \(y_B = 4\)

Étape 2 : Application de la formule

\(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\)

\(\overrightarrow{AB}(-1 - 3, 4 - (-2))\)

Étape 3 : Calcul des coordonnées

Abscisse : \(-1 - 3 = -4\)

Ordonnée : \(4 - (-2) = 4 + 2 = 6\)

Étape 4 : Conclusion

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont (-4, 6)

\(\overrightarrow{AB}(-4, 6)\)
Réponse finale :

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont (-4, 6).

Règles appliquées :

• Formule des coordonnées : \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\)

• Signes : Attention aux signes lors des soustractions

• Ordre : Toujours point d'arrivée moins point de départ

2 Milieu d'un segment
Définition :

Milieu d'un segment : Si A(\(x_A, y_A\)) et B(\(x_B, y_B\)), le milieu I a pour coordonnées \(\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\).

Étape 1 : Identification des coordonnées

A(2, 5) donc \(x_A = 2\) et \(y_A = 5\)

B(6, -1) donc \(x_B = 6\) et \(y_B = -1\)

Étape 2 : Application de la formule

\(x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 6}{2}\)

\(y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{5 + (-1)}{2}\)

Étape 3 : Calcul de l'abscisse

\(x_I = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

Étape 4 : Calcul de l'ordonnée

\(y_I = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

Étape 5 : Conclusion

Les coordonnées du point I sont (4, 2)

\(I(4, 2)\)
Réponse finale :

Les coordonnées du point I, milieu de [AB], sont (4, 2).

Règles appliquées :

• Formule du milieu : \(\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)

• Calcul : Additionner les coordonnées correspondantes

• Division : Diviser par 2 pour obtenir la moyenne

3 Distance entre deux points
Définition :

Distance entre deux points : Si A(\(x_A, y_A\)) et B(\(x_B, y_B\)), alors \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).

Étape 1 : Identification des coordonnées

A(1, 3) donc \(x_A = 1\) et \(y_A = 3\)

B(4, 7) donc \(x_B = 4\) et \(y_B = 7\)

Étape 2 : Application de la formule

\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)

\(AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (7 - 3)^2}\)

Étape 3 : Calcul des différences

\(x_B - x_A = 4 - 1 = 3\)

\(y_B - y_A = 7 - 3 = 4\)

Étape 4 : Calcul des carrés

\((x_B - x_A)^2 = 3^2 = 9\)

\((y_B - y_A)^2 = 4^2 = 16\)

Étape 5 : Somme et racine carrée

\(AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Étape 6 : Conclusion

La distance AB est égale à 5 unités

\(AB = 5\)
Réponse finale :

La distance entre les points A(1, 3) et B(4, 7) est de 5 unités.

Règles appliquées :

• Formule de distance : \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)

• Pythagore : Cette formule découle du théorème de Pythagore

• Calcul : Toujours faire la différence dans le même ordre

Corrigé : Exercices 4 à 5
4 Changement de repère
Définition :

Changement de repère : Si on change d'origine en passant de O à O', les nouvelles coordonnées sont obtenues par translation : \(x' = x - x_{O'}\) et \(y' = y - y_{O'}\).

Étape 1 : Identification des données

Ancien repère : (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\))

Nouveau repère : (O', \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) avec O'(2, -1)

Point A dans l'ancien repère : A(5, 3)

Étape 2 : Formule de changement de repère

Si O' a pour coordonnées (\(x_{O'}, y_{O'}\)) dans l'ancien repère, alors :

\(x' = x - x_{O'}\)

\(y' = y - y_{O'}\)

Étape 3 : Calcul de la nouvelle abscisse

\(x' = x - x_{O'} = 5 - 2 = 3\)

Étape 4 : Calcul de la nouvelle ordonnée

\(y' = y - y_{O'} = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4\)

Étape 5 : Conclusion

Dans le nouveau repère (O', \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)), le point A a pour coordonnées (3, 4)

A'(3, 4)
Réponse finale :

Dans le nouveau repère (O', \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)), le point A a pour coordonnées (3, 4).

Règles appliquées :

• Translation : \(x' = x - x_{O'}\) et \(y' = y - y_{O'}\)

• Origine : Le nouveau point d'origine devient (0, 0) dans le nouveau repère

• Calcul : Soustraire les coordonnées de la nouvelle origine

5 Parallélogramme
Définition :

Parallélogramme : ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).

Étape 1 : Identification des points donnés

A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2)

On cherche D(x, y) tel que ABCD soit un parallélogramme

Étape 2 : Utilisation de la propriété vectorielle

Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

Étape 3 : Calcul de \(\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AB}(4-1, 6-2) = \overrightarrow{AB}(3, 4)\)

Étape 4 : Expression de \(\overrightarrow{DC}\)

\(\overrightarrow{DC}(7-x, 2-y)\)

Étape 5 : Égalité des vecteurs

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \Rightarrow (3, 4) = (7-x, 2-y)\)

Donc : \(3 = 7-x\) et \(4 = 2-y\)

Étape 6 : Résolution des équations

\(3 = 7-x \Rightarrow x = 7-3 = 4\)

\(4 = 2-y \Rightarrow y = 2-4 = -2\)

Étape 7 : Conclusion

Le point D a pour coordonnées (4, -2)

\(D(4, -2)\)
Réponse finale :

Les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme sont (4, -2).

Règles appliquées :

• Parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)

• Égalité de vecteurs : Même abscisse et même ordonnée

• Résolution : Résoudre un système de deux équations

Cours bien détaillé
\(M(x,y) \text{ dans } (O,\vec{i},\vec{j}) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)
Repérage d'un point
🎯
Repère orthonormé : (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) avec OI = OJ = 1 et (OI) ⊥ (OJ).
📏
Coordonnées d'un vecteur : \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\).
📍
Milieu : \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\).
📐
Distance : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\).
💡
Conseil : Toujours vérifier que les coordonnées des points sont correctement placées dans les formules
🔍
Attention : L'ordre des points est crucial dans les vecteurs (\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\))
⚡
Astuce : Pour un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu
📋
Méthode : Toujours commencer par identifier les points et vecteurs dans l'énoncé
✅
Vérification : Dessiner la configuration permet de vérifier la cohérence des résultats
Méthodes de calcul :
  • Coordonnées d'un vecteur : \(\overrightarrow{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)\)
  • Milieu d'un segment : \(\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)
  • Distance entre deux points : \(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
  • Changement de repère : \(x' = x - x_{O'}\), \(y' = y - y_{O'}\)
  • Parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)
Règles importantes :
  • Un point M(x,y) dans un repère signifie que \(\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)
  • Les coordonnées d'un vecteur s'obtiennent par différence des coordonnées des points
  • Le milieu d'un segment a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des extrémités
  • La distance entre deux points est toujours positive
  • Le parallélogramme a des côtés opposés parallèles et de même longueur
Coordonnées de points et repères Géométrie repérée et transformations