Coordonnées de points et repères en géométrie plane
Introduction
Découvrez comment localiser des points dans le plan
Définition d'un repère du plan
Repère du plan
Un repère du plan est un triplet (O, I, J) constitué de trois points non alignés du plan.
Le point O est appelé origine du repère.
La droite (OI) est l'axe des abscisses.
La droite (OJ) est l'axe des ordonnées.
Types de repères
Différents types de repères
Les axes sont perpendiculaires mais les unités peuvent être différentes.
Les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires.
Les axes sont perpendiculaires et les unités sont identiques.
(OI) ⊥ (OJ) et OI = OJ = 1 unité.
Les axes ne sont pas perpendiculaires.
Les axes (OI) et (OJ) ne sont pas orthogonaux.
Coordonnées d'un point
Coordonnées d'un point
À tout point M du plan, on associe un couple unique (x, y) de nombres réels appelés coordonnées de M.
x est l'abscisse de M
y est l'ordonnée de M
On note M(x ; y)
L'abscisse correspond à la position horizontale par rapport à l'origine.
L'ordonnée correspond à la position verticale par rapport à l'origine.
Exemple : A(3 ; 2) signifie que A est à 3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Exemples de coordonnées
Lecture de coordonnées
2 Le point I a pour coordonnées (1 ; 0)
3 Le point J a pour coordonnées (0 ; 1)
4 Le point A(2 ; 3) est à 2 unités à droite et 3 unités vers le haut
Milieu d'un segment
Coordonnées du milieu
Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées :
2 Abscisse du milieu : (2 + 6)/2 = 8/2 = 4
3 Ordonnée du milieu : (5 + 1)/2 = 6/2 = 3
4 Donc le milieu I a pour coordonnées (4 ; 3)
Distance entre deux points
Calcul de distance
La distance AB est donnée par la formule :
2 x_B - x_A = 4 - 1 = 3
3 y_B - y_A = 6 - 2 = 4
4 AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
5 Donc AB = √25 = 5
Coordonnées d'un vecteur
Vecteurs et coordonnées
Les coordonnées du vecteur AB sont :
2 x_B - x_A = 5 - 2 = 3
3 y_B - y_A = 7 - 3 = 4
4 Donc \overrightarrow{AB} = (3 ; 4)
Exercice 1
Application pratique
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(1 ; 2), B(4 ; 6) et C(7 ; 2).
1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.
2. Calculer la distance AB.
3. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [BC].
Solution exercice 1
Correction détaillée
A(1 ; 2) et B(4 ; 6)
Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : (x_B - x_A ; y_B - y_A)
= (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ; 4)
AB = √[(x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²]
= √[(4 - 1)² + (6 - 2)²]
= √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5
B(4 ; 6) et C(7 ; 2)
I = ((x_B + x_C)/2 ; (y_B + y_C)/2)
= ((4 + 7)/2 ; (6 + 2)/2) = (11/2 ; 8/2) = (5.5 ; 4)
Repère orthonormé et cercle
Cercle dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, l'équation du cercle est :
L'équation du cercle est :
Les points A(3 ; 0), B(0 ; 3), C(-3 ; 0) et D(0 ; -3) appartiennent à ce cercle.
Exercice 2
Application sur le cercle
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 1), B(6 ; 1) et C(4 ; 5).
1. Calculer les distances AB, AC et BC.
2. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
3. Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB].
Solution exercice 2
Correction détaillée
A(2 ; 1), B(6 ; 1), C(4 ; 5)
AB = √[(6-2)² + (1-1)²] = √[16 + 0] = 4
AC = √[(4-2)² + (5-1)²] = √[4 + 16] = √20 = 2√5
BC = √[(4-6)² + (5-1)²] = √[4 + 16] = √20 = 2√5
AC = BC = 2√5
Donc le triangle ABC est isocèle en C.
De plus, AB² = 16 et AC² + BC² = 20 + 20 = 40
AB² ≠ AC² + BC² donc le triangle n'est pas rectangle.
M = ((2+6)/2 ; (1+1)/2) = (8/2 ; 2/2) = (4 ; 1)
Repère et transformations
Transformations géométriques
Le symétrique du point M(x ; y) par rapport à Ω(a ; b) est le point M'(x' ; y') tel que :
Le translaté du point M(x ; y) par le vecteur u(u_x ; u_y) est le point M'(x' ; y') tel que :
Exercice 3
Transformations
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère le point A(3 ; 2) et le point Ω(1 ; 1).
1. Calculer les coordonnées du symétrique A' de A par rapport à Ω.
2. Calculer les coordonnées du point A'' image de A par la translation de vecteur u(2 ; -1).
Solution exercice 3
Correction détaillée
A(3 ; 2) et Ω(1 ; 1)
x' = 2×1 - 3 = 2 - 3 = -1
y' = 2×1 - 2 = 2 - 2 = 0
Donc A' a pour coordonnées (-1 ; 0)
A(3 ; 2) et u(2 ; -1)
x'' = 3 + 2 = 5
y'' = 2 + (-1) = 1
Donc A'' a pour coordonnées (5 ; 1)
Résumé
Points clés
- Triple (O, I, J) de points non alignés
- O origine, (OI) axe des abscisses, (OJ) axe des ordonnées
- Point M(x ; y) avec x abscisse et y ordonnée
- Origine O(0 ; 0), I(1 ; 0), J(0 ; 1)
- Milieu de [AB] : I((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)
- Distance AB : √[(x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²]
- Vecteur AB : (x_B-x_A ; y_B-y_A)
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences