Transformations du plan : Translation et Rotation

Les transformations conservent certaines propriétés géométriques comme :

• Les longueurs (isométries)
• Les angles
• L'alignement des points
• Le parallélisme

• Conservation des distances (isométrie)
• Conservation des angles
• Conservation du parallélisme
• Conservation de l'alignement
• Les milieux sont conservés

Pour construire l'image d'un point M par la translation de vecteur \(\vec{u}\) :

1. Tracer le vecteur \(\vec{u}\) à partir du point M
2. Le point M' est l'extrémité de ce vecteur
3. On a donc \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\)

Soit Ω un point du plan et α un angle. La rotation de centre Ω et d'angle α est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que :

• \(\Omega M' = \Omega M\) (conservation des distances)
• \((\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) = \alpha\) (conservation de l'angle)

• Conservation des distances (isométrie)
• Conservation des angles
• Conservation des aires
• Le centre de rotation est invariant
• Les cercles centrés au centre de rotation sont invariants

Pour construire l'image d'un point M par la rotation de centre Ω et d'angle α :

1. Tracer le cercle de centre Ω passant par M
2. Construire l'angle (\(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) = \alpha\)
3. M' est l'intersection du cercle et de la demi-droite formant l'angle α

Soit Ω(a, b) le centre de rotation et α l'angle de rotation. Si M(x, y) est un point, alors son image M'(x', y') par la rotation de centre Ω et d'angle α est donnée par :

• Rotation de centre O et angle π/2 : (x, y) → (-y, x)
• Rotation de centre O et angle π : (x, y) → (-x, -y)
• Rotation de centre O et angle -π/2 : (x, y) → (y, -x)

La composée de deux transformations T₁ et T₂, notée T₂ ∘ T₁, est la transformation qui consiste à appliquer T₁ puis T₂.

Pour un point M : (T₂ ∘ T₁)(M) = T₂(T₁(M))

• La composée de deux translations de vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est une translation de vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\)
• La composée de deux rotations de même centre est une rotation de même centre
• La composée d'une translation et d'une rotation n'est ni une translation ni une rotation

Pour la translation de vecteur \(\vec{u}(3, -1)\), on ajoute 3 à l'abscisse et -1 à l'ordonnée :

• A(1, 2) → A'(1+3, 2+(-1)) = A'(4, 1)
• B(4, 3) → B'(4+3, 3+(-1)) = B'(7, 2)
• C(2, 5) → C'(2+3, 5+(-1)) = C'(5, 4)

On vérifie que AB = A'B', BC = B'C' et AC = A'C' :

• AB² = (4-1)² + (3-2)² = 9 + 1 = 10
• A'B'² = (7-4)² + (2-1)² = 9 + 1 = 10
• Donc AB = A'B'

De même pour les autres côtés, la translation conserve les distances.

On a Ω(1, 0), A(2, 1) et α = π/2, donc cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1.

Formules de rotation : x' = a + (x-a)cosα - (y-b)sinα et y' = b + (x-a)sinα + (y-b)cosα

Donc : x' = 1 + (2-1)×0 - (1-0)×1 = 1 + 0 - 1 = 0

Et : y' = 0 + (2-1)×1 + (1-0)×0 = 0 + 1 + 0 = 1

Distance ΩA = √[(2-1)² + (1-0)²] = √[1+1] = √2

Distance ΩA' = √[(0-1)² + (1-0)²] = √[1+1] = √2

Donc ΩA = ΩA' ✓

Vecteur \(\overrightarrow{ΩA} = (1, 1)\) et \(\overrightarrow{ΩA'} = (-1, 1)\)

Produit scalaire : \(\overrightarrow{ΩA} \cdot \overrightarrow{ΩA'} = 1×(-1) + 1×1 = 0\)

Donc les vecteurs sont orthogonaux, l'angle est bien π/2 ✓

• 1 Informatique graphique (jeux vidéo, animation)
• 2 Robotique (positionnement et déplacement)
• 3 Architecture et design (motifs répétitifs)
• 4 Physique (mouvements de solides)
• 5 Arts (création de motifs décoratifs)

Un motif décoratif peut être créé en répétant une figure par translation ou rotation. Par exemple, un pavage du plan avec des triangles ou des hexagones repose sur des translations et rotations régulières.

• Image M' d'un point M : \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\)
• Conservation des distances, angles, parallélisme

• Image M' d'un point M : ΩM' = ΩM et (\(\overrightarrow{ΩM}, \overrightarrow{ΩM'}\)) = α
• Conservation des distances, angles, aires

• Les deux sont des isométries (conservent les distances)
• Les deux conservent les angles géométriques
• Les deux transforment les figures en figures isométriques