Translation
Définition:
\( t_{\vec{u}}(M) = M' \) tel que \( \overrightarrow{MM'} = \vec{u} \)
\( t_{\vec{u}}(M) = M' \) tel que \( \overrightarrow{MM'} = \vec{u} \)
Coordonnées:
Si \( M(x, y) \) et \( \vec{u}(a, b) \), alors \( M'(x+a, y+b) \)
Si \( M(x, y) \) et \( \vec{u}(a, b) \), alors \( M'(x+a, y+b) \)
Exemple :
M(2, 3) transformé par la translation de vecteur \(\vec{u}(1, -2)\)
M' = (2+1, 3-2) = (3, 1)
\(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\)
M' = (2+1, 3-2) = (3, 1)
\(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\)
Rotation
Rotation de centre Ω et angle α
M → M' tel que ΩM = ΩM' et (∧MΩM') = α
Coordonnées: \(x' = x_Ω + (x-x_Ω)\cos α - (y-y_Ω)\sin α\)
\(y' = y_Ω + (x-x_Ω)\sin α + (y-y_Ω)\cos α\)
Propriétés communes
Conservation: Longueurs, angles, aires
Alignement: Préservation de l'alignement
Sens: Translation conserve le sens, rotation aussi
Méthodes & Conseils
Identifier le type de transformation
Repérer le vecteur pour la translation
Déterminer le centre et l'angle pour la rotation
Vérifier les invariants après transformation
Utiliser les propriétés pour vérifier les résultats
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre sens de la translation
Erreur 2 :
Oublier le centre de rotation
Erreur 3 :
Calculer avec des angles en degrés au lieu de radians
Erreur 4 :
Inverser les coordonnées dans les formules
Applications géométriques
Symétrie centrale: Rotation de 180°
Vecteur translation: Détermine entièrement la translation
Image d'une figure: Image de chaque point
Composition: Combinaison de transformations
Exemples détaillés
Exemple 1 (Translation) :
Triangle ABC avec A(0,0), B(2,0), C(0,3)
Translation par \(\vec{u}(1,2)\)
A'(1,2), B'(3,2), C'(1,5)
Translation par \(\vec{u}(1,2)\)
A'(1,2), B'(3,2), C'(1,5)
Exemple 2 (Rotation) :
Point A(1,0) tourné de 90° autour de O(0,0)
A'(0,1) car x'=0, y'=1
A'(0,1) car x'=0, y'=1
