Repère et coordonnées
Repère orthonormé:
\( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) avec \( ||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 \) et \( \vec{i} \perp \vec{j} \)
\( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) avec \( ||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1 \) et \( \vec{i} \perp \vec{j} \)
Coordonnées d'un point:
\( M(x, y) \) tel que \( \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \)
\( M(x, y) \) tel que \( \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \)
Exemple :
Point A(3, -2)
\(\overrightarrow{OA} = 3\vec{i} - 2\vec{j}\)
Distance OA = √(3² + (-2)²) = √13
\(\overrightarrow{OA} = 3\vec{i} - 2\vec{j}\)
Distance OA = √(3² + (-2)²) = √13
Formules fondamentales
Point M(x, y): \(\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)
Distance AB: \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)
Milieu I: \(I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\)
Vecteur \(\overrightarrow{AB}\): \((x_B-x_A, y_B-y_A)\)
Types de repères
Orthonormé: \(\vec{i} \perp \vec{j}\), \(||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1\)
Orthogonal: \(\vec{i} \perp \vec{j}\), \(||\vec{i}|| \neq ||\vec{j}||\)
Quelconque: \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) non orthogonaux
Méthodes & Conseils
Identifier le type de repère utilisé
Placer correctement l'origine O
Repérer les axes x et y
Vérifier l'unité de longueur
Utiliser les coordonnées pour prouver des propriétés
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre abscisse et ordonnée
Erreur 2 :
Oublier le signe des coordonnées
Erreur 3 :
Appliquer les formules dans un repère non orthonormé
Erreur 4 :
Inverser les coordonnées dans les calculs
Applications géométriques
Alignement: Points A, B, C alignés si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires
Parallélogramme: ABCD parallélogramme si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
Rectangle: Parallélogramme avec diagonales égales
Changement de repère: Formules de transformation
Exemples détaillés
Exemple 1 :
Points A(1, 2) et B(4, 6)
\(\overrightarrow{AB} = (3, 4)\)
AB = √(3² + 4²) = √25 = 5
\(\overrightarrow{AB} = (3, 4)\)
AB = √(3² + 4²) = √25 = 5
Exemple 2 :
Milieu de [AB] avec A(-1, 3) et B(5, -1)
I = ((-1+5)/2, (3-1)/2) = (2, 1)
I = ((-1+5)/2, (3-1)/2) = (2, 1)
