Translation : La translation de vecteur \(\vec{u}(a, b)\) transforme un point M(x, y) en un point M'(x', y') tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\), donc \(x' = x + a\) et \(y' = y + b\).
- Identifier les coordonnées du point initial A(x, y)
- Identifier les coordonnées du vecteur de translation \(\vec{u}(a, b)\)
- Appliquer la formule : A'(x + a, y + b)
- Effectuer les calculs pour obtenir les nouvelles coordonnées
Point A(2, 3) donc \(x_A = 2\) et \(y_A = 3\)
Vecteur \(\vec{u}(-1, 4)\) donc \(a = -1\) et \(b = 4\)
\(x_{A'} = x_A + a = 2 + (-1) = 2 - 1 = 1\)
\(y_{A'} = y_A + b = 3 + 4 = 7\)
\(\overrightarrow{AA'} = A' - A = (1, 7) - (2, 3) = (-1, 4) = \vec{u}\) ✓
Les coordonnées de A' sont (1, 7)
Les coordonnées du point A', image de A(2, 3) par la translation de vecteur \(\vec{u}(-1, 4)\), sont (1, 7).
• Formule de translation : \(M'(x + a, y + b)\) avec \(\vec{u}(a, b)\)
• Calcul : Additionner les coordonnées du point avec celles du vecteur
• Vérification : Le vecteur \(\overrightarrow{AA'}\) doit être égal au vecteur de translation
Rotation : La rotation de centre O et d'angle \(\theta\) transforme un point M(x, y) en un point M'(x', y') tel que \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\) et \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\).
Point B(3, 1) donc \(x_B = 3\) et \(y_B = 1\)
Angle de rotation : \(\theta = 90°\)
\(\cos(90°) = 0\) et \(\sin(90°) = 1\)
\(x_{B'} = x_B\cos\theta - y_B\sin\theta = 3 \times 0 - 1 \times 1 = 0 - 1 = -1\)
\(y_{B'} = x_B\sin\theta + y_B\cos\theta = 3 \times 1 + 1 \times 0 = 3 + 0 = 3\)
\(OB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\)
\(OB' = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\)
La distance est conservée ✓
Les coordonnées de B' sont (-1, 3)
Les coordonnées du point B', image de B(3, 1) par la rotation de centre O et d'angle 90°, sont (-1, 3).
• Formule de rotation : \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\)
• Valeurs trigonométriques : \(\cos(90°) = 0\), \(\sin(90°) = 1\)
• Conservation : La rotation conserve les distances
Translation d'une figure : Pour translater une figure, on applique la même translation à chacun de ses sommets.
A(0, 0), B(3, 0), C(0, 2)
Vecteur de translation : \(\vec{u}(1, -2)\)
Pour A(0, 0) : \(A'(0 + 1, 0 + (-2)) = A'(1, -2)\)
Pour B(3, 0) : \(B'(3 + 1, 0 + (-2)) = B'(4, -2)\)
Pour C(0, 2) : \(C'(0 + 1, 2 + (-2)) = C'(1, 0)\)
La translation conserve :
- Les longueurs des côtés
- Les mesures des angles
- L'aire du triangle
\(AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3\)
\(A'B' = \sqrt{(4-1)^2 + (-2-(-2))^2} = 3\) ✓
Le triangle A'B'C' a pour sommets A'(1, -2), B'(4, -2), C'(1, 0)
L'image du triangle ABC par la translation de vecteur \(\vec{u}(1, -2)\) est le triangle A'B'C' avec A'(1, -2), B'(4, -2), C'(1, 0).
• Translation d'une figure : Appliquer la translation à chaque sommet
• Conservation : Les isométries conservent les distances et les angles
• Calcul : Additionner les coordonnées de chaque sommet avec celles du vecteur
Rotation générale : La rotation de centre O et d'angle \(\theta\) transforme M(x, y) en M'(x', y') avec : \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\) et \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\).
Point C(2, 0) donc \(x_C = 2\) et \(y_C = 0\)
Angle de rotation : \(\theta = 60°\)
\(\cos(60°) = \frac{1}{2}\) et \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x_{C'} = x_C\cos(60°) - y_C\sin(60°) = 2 \times \frac{1}{2} - 0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 0 = 1\)
\(y_{C'} = x_C\sin(60°) + y_C\cos(60°) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3}\)
\(OC = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2\)
\(OC' = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\) ✓
\(\sqrt{3} \approx 1.732\), donc \(C'(1, \sqrt{3}) \approx (1, 1.732)\)
Les coordonnées du point C', image de C(2, 0) par la rotation de centre O et d'angle 60°, sont (1, \(\sqrt{3}\)).
• Formule de rotation : \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\)
• Valeurs exactes : \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\), \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• Conservation : La rotation préserve la distance au centre
Composition de transformations : L'application successive de deux transformations consiste à appliquer la première transformation, puis la seconde au résultat obtenu.
Point initial : D(1, 1)
Vecteur de translation : \(\vec{u}(2, 3)\)
Image après translation : \(D_1(1 + 2, 1 + 3) = D_1(3, 4)\)
Point à faire tourner : \(D_1(3, 4)\)
Angle de rotation : \(\theta = 45°\)
\(\cos(45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x_{D''} = x_{D_1}\cos(45°) - y_{D_1}\sin(45°) = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x_{D''} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{4\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{2}}{2}\)
\(y_{D''} = x_{D_1}\sin(45°) + y_{D_1}\cos(45°) = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(y_{D''} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2}\)
Les coordonnées de D'' sont \(\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{7\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(\frac{-\sqrt{2}}{2} \approx -0.707\) et \(\frac{7\sqrt{2}}{2} \approx 4.950\)
Les coordonnées du point D'', image de D(1, 1) par la translation de vecteur \(\vec{u}(2, 3)\) puis par la rotation de centre O et d'angle 45°, sont \(\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{7\sqrt{2}}{2}\right)\).
• Composition : Appliquer les transformations dans l'ordre indiqué
• Translation : Ajouter les coordonnées du vecteur
• Rotation : Appliquer les formules trigonométriques
- Translation : \(M'(x + a, y + b)\) avec \(\vec{u}(a, b)\)
- Rotation (centre O) : \(x' = x\cos\theta - y\sin\theta\), \(y' = x\sin\theta + y\cos\theta\)
- Rotation (centre C) : Translation vers O, rotation, translation inverse
- Composition : Appliquer les transformations dans l'ordre indiqué
- Vérification : Vérifier la conservation des distances
- Les translations et rotations sont des isométries (conservent les distances)
- La composition de deux isométries est une isométrie
- Une rotation conserve les angles orientés
- Le centre d'une rotation est invariant
- Une translation n'a aucun point invariant
