Homothétie de centre O : L'homothétie de centre O et de rapport k transforme un point M(x, y) en un point M'(x', y') tel que \(\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}\), donc \(x' = kx\) et \(y' = ky\).
- Identifier les coordonnées du point initial M(x, y)
- Identifier le centre O et le rapport k
- Appliquer la formule : M'(kx, ky) pour une homothétie de centre O
- Effectuer les calculs pour obtenir les nouvelles coordonnées
Point A(2, 3) donc \(x_A = 2\) et \(y_A = 3\)
Centre : O(0, 0)
Rapport : k = 2
\(x_{A'} = k \times x_A = 2 \times 2 = 4\)
\(y_{A'} = k \times y_A = 2 \times 3 = 6\)
\(\overrightarrow{OA'} = (4, 6)\) et \(\overrightarrow{OA} = (2, 3)\)
\(\overrightarrow{OA'} = 2 \times \overrightarrow{OA}\) ✓
Les coordonnées de A' sont (4, 6)
Les coordonnées du point A', image de A(2, 3) par l'homothétie de centre O(0, 0) et de rapport k = 2, sont (4, 6).
• Formule homothétie centre O : \(M'(kx, ky)\) avec rapport k
• Calcul : Multiplier les coordonnées par le rapport
• Vérification : \(\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}\)
Homothétie de centre C : L'homothétie de centre C(\(x_C, y_C\)) et de rapport k transforme M(x, y) en M'(x', y') tel que \(\overrightarrow{CM'} = k\overrightarrow{CM}\), donc \(x' = x_C + k(x - x_C)\) et \(y' = y_C + k(y - y_C)\).
Point B(4, -1) donc \(x_B = 4\) et \(y_B = -1\)
Centre : C(1, 2) donc \(x_C = 1\) et \(y_C = 2\)
Rapport : k = -1/2
\(x_{B'} = x_C + k(x_B - x_C) = 1 + (-\frac{1}{2})(4 - 1) = 1 + (-\frac{1}{2}) \times 3\)
\(x_{B'} = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\)
\(y_{B'} = y_C + k(y_B - y_C) = 2 + (-\frac{1}{2})(-1 - 2) = 2 + (-\frac{1}{2}) \times (-3)\)
\(y_{B'} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}\)
\(\overrightarrow{CB} = (4-1, -1-2) = (3, -3)\)
\(\overrightarrow{CB'} = (-\frac{1}{2}-1, \frac{7}{2}-2) = (-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})\)
\(\overrightarrow{CB'} = -\frac{1}{2} \times \overrightarrow{CB}\) ✓
Les coordonnées de B' sont (-1/2, 7/2)
Les coordonnées du point B', image de B(4, -1) par l'homothétie de centre C(1, 2) et de rapport k = -1/2, sont (-1/2, 7/2).
• Formule homothétie centre C : \(x' = x_C + k(x - x_C)\), \(y' = y_C + k(y - y_C)\)
• Calcul : Attention au signe du rapport et des différences
• Vérification : \(\overrightarrow{CM'} = k\overrightarrow{CM}\)
Effet sur l'aire : Par une homothétie de rapport k, l'aire d'une figure est multipliée par \(k^2\).
Triangle ABC avec A(0, 0), B(3, 0), C(0, 2)
C'est un triangle rectangle en A
Aire initiale = \(\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3\)
Homothétie de centre O(0, 0) et de rapport k = 3
A'(3×0, 3×0) = A'(0, 0)
B'(3×3, 3×0) = B'(9, 0)
C'(3×0, 3×2) = C'(0, 6)
Triangle A'B'C' est aussi rectangle en A'
Aire de A'B'C' = \(\frac{1}{2} \times A'B' \times A'C' = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27\)
Aire de A'B'C' = \(k^2 \times\) Aire de ABC = \(3^2 \times 3 = 9 \times 3 = 27\) ✓
L'aire du triangle A'B'C' est 27 unités²
L'aire du triangle A'B'C', image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k = 3, est de 27 unités carrées.
• Effet sur l'aire : Multipliée par \(k^2\) dans une homothétie de rapport k
• Calcul : Multiplier l'aire initiale par \(k^2\)
• Vérification : Calculer directement l'aire de l'image
Image d'un cercle : Par une homothétie, l'image d'un cercle est un cercle dont le centre est l'image du centre et le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport.
Cercle initial : centre Ω(1, 1), rayon r = 2
Homothétie : centre O(0, 0), rapport k = 1/2
Le centre Ω'(x', y') est l'image de Ω(1, 1) par l'homothétie de centre O et de rapport k = 1/2
\(x_{\Omega'} = k \times x_{\Omega} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\)
\(y_{\Omega'} = k \times y_{\Omega} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\)
Le rayon de l'image est : \(r' = |k| \times r = \left|\frac{1}{2}\right| \times 2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1\)
Tout point M du cercle initial vérifie : \(d(\Omega, M) = 2\)
Le point M' image de M vérifie : \(d(\Omega', M') = |k| \times d(\Omega, M) = \frac{1}{2} \times 2 = 1\)
Le cercle image a pour centre Ω'(1/2, 1/2) et pour rayon 1
L'image du cercle de centre Ω(1, 1) et de rayon 2 par l'homothétie de centre O(0, 0) et de rapport k = 1/2 est un cercle de centre Ω'(1/2, 1/2) et de rayon 1.
• Image d'un cercle : Centre transformé, rayon multiplié par |k|
• Calcul : Transformer le centre comme un point
• Rayon : Multiplier par la valeur absolue du rapport
Effet sur les longueurs : Par une homothétie de rapport k, toutes les longueurs sont multipliées par |k|.
Segment [AB] avec A(1, 1) et B(4, 5)
Homothétie de centre C(0, -1) et de rapport k = -2
\(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
Pour A(1, 1) : \(x_{A'} = x_C + k(x_A - x_C) = 0 + (-2)(1 - 0) = 0 - 2 = -2\)
\(y_{A'} = y_C + k(y_A - y_C) = -1 + (-2)(1 - (-1)) = -1 + (-2)(2) = -1 - 4 = -5\)
Pour B(4, 5) : \(x_{B'} = 0 + (-2)(4 - 0) = 0 - 8 = -8\)
\(y_{B'} = -1 + (-2)(5 - (-1)) = -1 + (-2)(6) = -1 - 12 = -13\)
\(A'B' = \sqrt{(-8-(-2))^2 + (-13-(-5))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
\(A'B' = |k| \times AB = |-2| \times 5 = 2 \times 5 = 10\) ✓
La longueur de [A'B'] est 10 unités
La longueur du segment [A'B'], image de [AB] par l'homothétie de centre C(0, -1) et de rapport k = -2, est de 10 unités.
• Effet sur les longueurs : Multipliées par |k| dans une homothétie de rapport k
• Calcul : Multiplier la longueur initiale par |k|
• Signe : Le rapport peut être négatif, mais la longueur est toujours positive
- Homothétie centre O : \(M'(kx, ky)\) avec rapport k
- Homothétie centre C : \(x' = x_C + k(x - x_C)\), \(y' = y_C + k(y - y_C)\)
- Effet sur longueurs : Multiplier par |k|
- Effet sur aires : Multiplier par \(k^2\)
- Image d'un cercle : Centre transformé, rayon multiplié par |k|
- Une homothétie est une transformation qui multiplie toutes les distances par une constante |k|
- Les angles sont conservés par une homothétie (elle est conforme)
- Le centre d'une homothétie est invariant
- Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle
- Une homothétie de rapport k transforme une figure en une figure semblable
