Symétrie centrale : La symétrie centrale de centre O(\(x_O, y_O\)) transforme un point M(\(x_M, y_M\)) en un point M'(\(x_{M'}, y_{M'}\)) tel que O est le milieu de [MM']. On a donc : \(x_{M'} = 2x_O - x_M\) et \(y_{M'} = 2y_O - y_M\).
- Identifier les coordonnées du point initial M(\(x_M, y_M\))
- Identifier les coordonnées du centre de symétrie O(\(x_O, y_O\))
- Appliquer les formules : \(x_{M'} = 2x_O - x_M\) et \(y_{M'} = 2y_O - y_M\)
- Effectuer les calculs pour obtenir les nouvelles coordonnées
Point A(3, 2) donc \(x_A = 3\) et \(y_A = 2\)
Centre de symétrie O(1, -1) donc \(x_O = 1\) et \(y_O = -1\)
\(x_{A'} = 2x_O - x_A = 2 \times 1 - 3 = 2 - 3 = -1\)
\(y_{A'} = 2y_O - y_A = 2 \times (-1) - 2 = -2 - 2 = -4\)
\(\overrightarrow{OA} = (3-1, 2-(-1)) = (2, 3)\)
\(\overrightarrow{OA'} = (-1-1, -4-(-1)) = (-2, -3)\)
\(\overrightarrow{OA'} = -\overrightarrow{OA}\) ✓
Milieu de [AA'] = \(\left(\frac{3+(-1)}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (1, -1) = O\) ✓
Les coordonnées de A' sont (-1, -4)
Les coordonnées du point A', image de A(3, 2) par la symétrie centrale de centre O(1, -1), sont (-1, -4).
• Formule symétrie centrale : \(M'(2x_O - x_M, 2y_O - y_M)\)
• Calcul : Doubler les coordonnées du centre et soustraire celles du point
• Vérification : Le centre doit être le milieu de [MM']
Symétrie axiale (axe Ox) : La symétrie axiale d'axe Ox (axe des abscisses) transforme un point M(x, y) en un point M'(x, -y). L'abscisse est conservée, l'ordonnée est changée de signe.
Point B(-2, 4) donc \(x_B = -2\) et \(y_B = 4\)
Axe de symétrie : Ox (axe des abscisses)
Pour la symétrie axiale d'axe Ox : \(x_{B'} = x_B\) et \(y_{B'} = -y_B\)
\(x_{B'} = -2\)
\(y_{B'} = -4\)
Distance de B à Ox : \(|y_B| = |4| = 4\)
Distance de B' à Ox : \(|y_{B'}| = |-4| = 4\) ✓
L'abscisse est conservée : \(x_B = x_{B'} = -2\) ✓
Les coordonnées de B' sont (-2, -4)
Les coordonnées du point B', image de B(-2, 4) par la symétrie axiale d'axe Ox, sont (-2, -4).
• Symétrie par rapport à Ox : \(M'(x, -y)\)
• Conservation : L'abscisse est conservée
• Changement de signe : L'ordonnée change de signe
Symétrie axiale (axe Oy) : La symétrie axiale d'axe Oy (axe des ordonnées) transforme un point M(x, y) en un point M'(-x, y). L'ordonnée est conservée, l'abscisse est changée de signe.
Point C(5, -3) donc \(x_C = 5\) et \(y_C = -3\)
Axe de symétrie : Oy (axe des ordonnées)
Pour la symétrie axiale d'axe Oy : \(x_{C'} = -x_C\) et \(y_{C'} = y_C\)
\(x_{C'} = -5\)
\(y_{C'} = -3\)
Distance de C à Oy : \(|x_C| = |5| = 5\)
Distance de C' à Oy : \(|x_{C'}| = |-5| = 5\) ✓
L'ordonnée est conservée : \(y_C = y_{C'} = -3\) ✓
Les coordonnées de C' sont (-5, -3)
Les coordonnées du point C', image de C(5, -3) par la symétrie axiale d'axe Oy, sont (-5, -3).
• Symétrie par rapport à Oy : \(M'(-x, y)\)
• Conservation : L'ordonnée est conservée
• Changement de signe : L'abscisse change de signe
Symétrie centrale d'une figure : Pour transformer une figure par symétrie centrale, on applique la transformation à chacun de ses sommets.
A(0, 0), B(3, 0), C(0, 2)
Centre de symétrie : I(1, 1)
Pour A(0, 0) : \(A'(2 \times 1 - 0, 2 \times 1 - 0) = A'(2, 2)\)
Pour B(3, 0) : \(B'(2 \times 1 - 3, 2 \times 1 - 0) = B'(-1, 2)\)
Pour C(0, 2) : \(C'(2 \times 1 - 0, 2 \times 1 - 2) = C'(2, 0)\)
La symétrie centrale conserve :
- Les longueurs des côtés
- Les mesures des angles
- L'aire du triangle
- L'orientation (inverse la figure)
\(AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = 3\)
\(A'B' = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) ✓
I est le milieu de [AA'], [BB'] et [CC'] :
Milieu de [AA'] = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (1, 1) = I\) ✓
Le triangle A'B'C' a pour sommets A'(2, 2), B'(-1, 2), C'(2, 0)
L'image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre I(1, 1) est le triangle A'B'C' avec A'(2, 2), B'(-1, 2), C'(2, 0).
• Symétrie d'une figure : Appliquer la transformation à chaque sommet
• Conservation : Les isométries conservent les distances et les angles
• Calcul : Utiliser la formule \(M'(2x_O - x_M, 2y_O - y_M)\) pour chaque point
Symétrie axiale par rapport à une droite verticale : Pour une droite d'équation x = a, la symétrie axiale transforme M(x, y) en M'(2a - x, y). L'ordonnée est conservée, l'abscisse est transformée.
Point D(2, 3) donc \(x_D = 2\) et \(y_D = 3\)
Axe de symétrie : droite d'équation x = 1, donc a = 1
Pour la symétrie axiale d'axe x = a : \(x_{D'} = 2a - x_D\) et \(y_{D'} = y_D\)
\(x_{D'} = 2 \times 1 - 2 = 2 - 2 = 0\)
\(y_{D'} = 3\)
Distance de D à la droite x = 1 : \(|x_D - 1| = |2 - 1| = 1\)
Distance de D' à la droite x = 1 : \(|x_{D'} - 1| = |0 - 1| = 1\) ✓
L'ordonnée est conservée : \(y_D = y_{D'} = 3\) ✓
L'axe x = 1 est la médiatrice de [DD'] :
Milieu de [DD'] = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = (1, 3)\)
L'abscisse du milieu est 1, donc l'axe x = 1 passe par le milieu ✓
Les coordonnées de D'' sont (0, 3)
Les coordonnées du point D'', image de D(2, 3) par la symétrie axiale d'axe la droite d'équation x = 1, sont (0, 3).
• Symétrie par rapport à x = a : \(M'(2a - x, y)\)
• Conservation : L'ordonnée est conservée
• Transformation : L'abscisse devient 2a - x
- Symétrie centrale : \(M'(2x_O - x_M, 2y_O - y_M)\)
- Symétrie axiale Ox : \(M'(x, -y)\)
- Symétrie axiale Oy : \(M'(-x, y)\)
- Symétrie axiale x = a : \(M'(2a - x, y)\)
- Symétrie axiale y = b : \(M'(x, 2b - y)\)
- Les symétries sont des isométries (conservent les distances)
- Les symétries sont des transformations involutives (leur propre réciproque)
- La symétrie centrale conserve l'alignement et les milieux
- La symétrie axiale conserve les angles orientés
- Le centre d'une symétrie centrale est invariant
