Alignement de points : Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel k tel que \(\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\).
- Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
- Vérifier si les vecteurs sont colinéaires en utilisant la condition : \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\)
- Autrement dit, vérifier si \(x_{AB} \times y_{AC} - x_{AC} \times y_{AB} = 0\)
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (4, 6) - (1, 2) = (3, 4)\)
\(\overrightarrow{AC} = C - A = (7, 10) - (1, 2) = (6, 8)\)
\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = x_{AB} \times y_{AC} - x_{AC} \times y_{AB}\)
\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3 \times 8 - 6 \times 4 = 24 - 24 = 0\)
Le déterminant est nul, donc les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires
Par conséquent, les points A, B et C sont alignés
On peut aussi vérifier que \(\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}\) : \((6, 8) = 2(3, 4)\) ✓
Les points A(1, 2), B(4, 6) et C(7, 10) sont alignés car les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
• Condition d'alignement : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires
• Déterminant : \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = x_uy_v - x_vy_u\)
• Colinéarité : Les vecteurs sont colinéaires si le déterminant est nul
Parallélisme de droites : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (5, 3) - (2, 1) = (3, 2)\)
\(\overrightarrow{CD} = D - C = (4, 6) - (1, 4) = (3, 2)\)
\(\overrightarrow{AB} = (3, 2)\) et \(\overrightarrow{CD} = (3, 2)\)
Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), ils sont donc colinéaires
\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 3 \times 2 - 3 \times 2 = 6 - 6 = 0\)
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles
En fait, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), donc ABCD est un parallélogramme
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles car les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
• Condition de parallélisme : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) colinéaires
• Colinéarité : \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\)
• Vecteurs égaux : Si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), alors (AB) // (CD)
Triangle rectangle : Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (3, 1) - (0, 0) = (3, 1)\)
\(\overrightarrow{AC} = C - A = (2, -6) - (0, 0) = (2, -6)\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x_{AB} \times x_{AC} + y_{AB} \times y_{AC}\)
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 2 + 1 \times (-6) = 6 - 6 = 0\)
Le produit scalaire \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\)
Donc \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}\)
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A
\(||\overrightarrow{AB}||^2 = 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10\)
\(||\overrightarrow{AC}||^2 = 2^2 + (-6)^2 = 4 + 36 = 40\)
\(||\overrightarrow{BC}||^2 = (2-3)^2 + (-6-1)^2 = (-1)^2 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50\)
\(||\overrightarrow{AB}||^2 + ||\overrightarrow{AC}||^2 = 10 + 40 = 50 = ||\overrightarrow{BC}||^2\)
Théorème de Pythagore vérifié ✓
Le triangle ABC est rectangle en A car \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\), ce qui signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux.
• Condition de perpendicularité : \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\)
• Produit scalaire : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2\)
• Théorème de Pythagore : Vérification de la condition de triangle rectangle
Parallélogramme : Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).
\(\overrightarrow{AB} = B - A = (4, 2) - (1, 1) = (3, 1)\)
\(\overrightarrow{DC} = C - D = (5, 5) - (2, 4) = (3, 1)\)
\(\overrightarrow{AB} = (3, 1)\) et \(\overrightarrow{DC} = (3, 1)\)
Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)
\(\overrightarrow{AD} = D - A = (2, 4) - (1, 1) = (1, 3)\)
\(\overrightarrow{BC} = C - B = (5, 5) - (4, 2) = (1, 3)\)
Donc \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)
On a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), donc ABCD est un parallélogramme
- Côtés opposés parallèles et de même longueur
- Diagonales se coupent en leur milieu
- Angles opposés égaux
ABCD est un parallélogramme car \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ce qui signifie que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
• Condition de parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)
• Égalité de vecteurs : Même direction, sens et norme
• Propriétés : Côtés opposés parallèles et égaux
Nature d'un triangle : Pour déterminer la nature d'un triangle, on calcule les longueurs de ses côtés et on compare les résultats pour identifier s'il est isocèle, équilatéral, rectangle ou scalène.
\(AB = ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(6-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\)
\(BC = ||\overrightarrow{BC}|| = \sqrt{(4-6)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\)
\(CA = ||\overrightarrow{CA}|| = \sqrt{(2-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)
\(AB = \sqrt{20}\), \(BC = \sqrt{20}\), \(CA = \sqrt{8}\)
On a \(AB = BC\), donc le triangle est isocèle en B
\(||\overrightarrow{AB}||^2 = 20\), \(||\overrightarrow{BC}||^2 = 20\), \(||\overrightarrow{CA}||^2 = 8\)
\(||\overrightarrow{AB}||^2 + ||\overrightarrow{CA}||^2 = 20 + 8 = 28\)
\(||\overrightarrow{BC}||^2 = 20 \neq 28\)
Le triangle n'est pas rectangle
\(\overrightarrow{BA} = A - B = (2, 3) - (6, 1) = (-4, 2)\)
\(\overrightarrow{BC} = C - B = (4, 5) - (6, 1) = (-2, 4)\)
\(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-4) \times (-2) + 2 \times 4 = 8 + 8 = 16 \neq 0\)
L'angle en B n'est pas droit
Le triangle ABC est isocèle en B car AB = BC = \(\sqrt{20}\)
Il n'est ni équilatéral (car CA ≠ AB) ni rectangle
Le triangle ABC est isocèle en B car AB = BC = \(\sqrt{20}\). Il n'est pas équilatéral ni rectangle.
• Longueur d'un segment : \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)
• Triangle isocèle : Deux côtés de même longueur
• Triangle rectangle : Vérifier le théorème de Pythagore ou le produit scalaire
- Alignement : Vérifier \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\)
- Parallélisme : Vérifier \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\)
- Orthogonalité : Vérifier \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\)
- Parallélogramme : Vérifier \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ou \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)
- Nature triangle : Comparer les longueurs des côtés et vérifier Pythagore
- Le produit scalaire permet de détecter l'orthogonalité
- Le déterminant permet de détecter la colinéarité
- La distance entre deux points est toujours positive
- Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur
- Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur
