Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
- Calculer \(P(A)\) : probabilité de l'événement A
- Calculer \(P(B)\) : probabilité de l'événement B
- Calculer \(P(A \cap B)\) : probabilité que A et B soient réalisés simultanément
- Vérifier si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
A : "le premier dé donne 6"
Sur 36 issues possibles (6×6), 6 issues correspondent à "premier dé = 6"
\(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
B : "la somme des deux dés est 12"
Seule l'issue (6,6) donne une somme de 12
\(P(B) = \frac{1}{36}\)
A ∩ B : "premier dé = 6 ET somme = 12"
Cela correspond à l'issue (6,6)
\(P(A \cap B) = \frac{1}{36}\)
\(P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{36} = \frac{1}{216}\)
\(P(A \cap B) = \frac{1}{36}\)
\(\frac{1}{36} \neq \frac{1}{216}\)
Les événements A et B ne sont pas indépendants
Les événements A et B ne sont pas indépendants car \(P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)\).
• Condition d'indépendance : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
• Calcul des probabilités : Nombre de cas favorables / nombre de cas possibles
• Interprétation : La réalisation de A influence la probabilité de B
Probabilité conditionnelle : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\) où \(P(B|A)\) est la probabilité de B sachant que A est réalisé.
A : "être une fille"
B : "porter des lunettes"
On cherche \(P(A \cap B)\) : "être une fille et porter des lunettes"
\(P(A) = 0.6\) (60% des élèves sont des filles)
\(P(B|A) = 0.2\) (20% des filles portent des lunettes)
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
\(P(A \cap B) = 0.6 \times 0.2 = 0.12\)
La probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une fille portant des lunettes est de 0.12 ou 12%
Si la classe a 100 élèves : 60 filles, 20% de 60 = 12 filles portent des lunettes
\(P(A \cap B) = \frac{12}{100} = 0.12\) ✓
La probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une fille portant des lunettes est de 0.12.
• Formule des probabilités composées : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
• Interprétation : On multiplie la probabilité de A par la probabilité de B sachant A
• Application : Utile pour les situations de dépendance
Tirage sans remise : Chaque tirage modifie la composition de l'urne, donc les événements sont dépendants.
Urne : 5 boules rouges + 3 boules bleues = 8 boules au total
A : "la première boule est rouge"
B : "la deuxième boule est bleue"
On cherche \(P(A \cap B)\)
\(P(A) = \frac{5}{8}\) (5 rouges sur 8 boules)
Sachant que la première boule est rouge (événement A réalisé), il reste 7 boules dans l'urne : 4 rouges et 3 bleues
\(P(B|A) = \frac{3}{7}\) (3 bleues sur 7 boules restantes)
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
\(P(A \cap B) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}\)
Nombre total de façons de tirer 2 boules : \(8 \times 7 = 56\)
Nombre de façons de tirer une rouge puis une bleue : \(5 \times 3 = 15\)
\(P(A \cap B) = \frac{15}{56}\) ✓
Les événements A et B sont dépendants car \(P(B|A) \neq P(B)\)
La probabilité de tirer une boule rouge puis une boule bleue est de \(\frac{15}{56}\).
• Formule des probabilités composées : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
• Tirage sans remise : La composition de l'urne change après chaque tirage
• Événements dépendants : \(P(B|A) \neq P(B)\)
Test d'indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
\(P(A) = 0.4\)
\(P(B) = 0.5\)
\(P(A \cap B) = 0.2\)
\(P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.5 = 0.2\)
\(P(A \cap B) = 0.2\)
\(P(A) \times P(B) = 0.2\)
Donc \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Les événements A et B sont indépendants
On peut aussi vérifier : \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.5} = 0.4 = P(A)\)
Cela confirme l'indépendance
Les événements A et B sont indépendants car \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
• Condition d'indépendance : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
• Alternative : \(P(A|B) = P(A)\) ou \(P(B|A) = P(B)\)
• Calcul : Comparer les valeurs numériques
Théorème de Bayes : \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}\). Il permet de calculer une probabilité conditionnelle "à rebours".
M : "la personne est malade"
T : "le test est positif"
On cherche \(P(M|T)\) : probabilité d'être malade sachant que le test est positif
\(P(M) = 0.02\) (2% de la population est malade)
\(P(T|M) = 0.95\) (95% des malades ont un test positif)
\(P(T|\overline{M}) = 0.03\) (3% des sains ont un test positif)
Utilisation de la formule des probabilités totales :
\(P(T) = P(T|M) \times P(M) + P(T|\overline{M}) \times P(\overline{M})\)
\(P(T) = 0.95 \times 0.02 + 0.03 \times 0.98\)
\(P(T) = 0.019 + 0.0294 = 0.0484\)
\(P(M|T) = \frac{P(T|M) \times P(M)}{P(T)}\)
\(P(M|T) = \frac{0.95 \times 0.02}{0.0484}\)
\(P(M|T) = \frac{0.019}{0.0484} \approx 0.3926\)
Si le test est positif, la probabilité que la personne soit réellement malade est d'environ 39.26%
Malgré une grande fiabilité du test, le faible taux de maladie dans la population rend les faux positifs significatifs
Si le test est positif, la probabilité que la personne soit malade est d'environ 39.3%.
• Théorème de Bayes : \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}\)
• Probabilités totales : \(P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|\overline{A}) \times P(\overline{A})\)
• Interprétation : Le taux de base influence fortement les probabilités conditionnelles
- Probabilité conditionnelle : \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
- Probabilité composée : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
- Indépendance : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
- Théorème de Bayes : \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}\)
- Probabilités totales : \(P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|\overline{A}) \times P(\overline{A})\)
- Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre
- La probabilité conditionnelle \(P(A|B)\) est la probabilité de A sachant que B est réalisé
- La formule de Bayes permet de "retourner" une probabilité conditionnelle
- Les événements incompatibles ont une intersection vide (probabilité nulle)
- La somme des probabilités de tous les événements possibles est égale à 1
