Événements indépendants
Définition:
\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
Condition:
\( P(A|B) = P(A) \) et \( P(B|A) = P(B) \)
\( P(A|B) = P(A) \) et \( P(B|A) = P(B) \)
Exemple :
Lancer de deux dés
A: "Obtenir 6 sur le premier dé"
B: "Obtenir 3 sur le second dé"
P(A) = 1/6, P(B) = 1/6
P(A∩B) = 1/36 = P(A)×P(B) → Indépendants
A: "Obtenir 6 sur le premier dé"
B: "Obtenir 3 sur le second dé"
P(A) = 1/6, P(B) = 1/6
P(A∩B) = 1/36 = P(A)×P(B) → Indépendants
Événements dépendants
L'occurrence de A influence celle de B
\( P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \)
\( P(A|B) \neq P(A) \)
\( P(B|A) \neq P(B) \)
Probabilité conditionnelle
Définition: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Formule: \( P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) \)
Formule: \( P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A) \)
Méthodes & Conseils
Identifier si les événements influencent les autres
Calculer P(A), P(B) et P(A∩B)
Vérifier si P(A∩B) = P(A)×P(B)
Utiliser la formule de Bayes si nécessaire
Représenter la situation avec un arbre
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Considérer des événements comme indépendants sans justification
Erreur 2 :
Confondre P(A|B) et P(B|A)
Erreur 3 :
Oublier de diviser par P(B) dans la probabilité conditionnelle
Erreur 4 :
Appliquer la formule d'indépendance à des événements dépendants
Applications concrètes
Tirages avec remise: Indépendants
Tirages sans remise: Dépendants
Lancers successifs: Indépendants
Tests médicaux: Étude de dépendance
Exemples détaillés
Exemple 1 (Indépendants) :
Tirage de deux cartes avec remise
A: "Première carte est un cœur"
B: "Deuxième carte est un trèfle"
P(A) = 1/4, P(B) = 1/4, P(A∩B) = 1/16 = P(A)×P(B)
A: "Première carte est un cœur"
B: "Deuxième carte est un trèfle"
P(A) = 1/4, P(B) = 1/4, P(A∩B) = 1/16 = P(A)×P(B)
Exemple 2 (Dépendants) :
Tirage de deux cartes sans remise
A: "Première carte est un roi"
B: "Deuxième carte est un roi"
P(A∩B) ≠ P(A)×P(B)
A: "Première carte est un roi"
B: "Deuxième carte est un roi"
P(A∩B) ≠ P(A)×P(B)
