Résumé complet : Formule des probabilités totales | Probabilités 1ère Mathématiques

Formule des probabilités totales

Formule générale:
\( P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \times P(B_i) \)

Cas particulier (n=2):
\( P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) \)

Exemple :

Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues.
On tire une boule, puis une deuxième sans remise.
B₁: "Première boule rouge", B₂: "Première boule bleue"
A: "Deuxième boule rouge"
P(A) = P(A|B₁)×P(B₁) + P(A|B₂)×P(B₂)

Conditions d'application

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(B₁, B₂, ..., Bₙ) forme une partition de Ω

📍

Bᵢ ∩ Bⱼ = ∅ pour i ≠ j

📐

∪ Bᵢ = Ω

📏

P(Bᵢ) > 0 pour tout i

Démonstration intuitive

✅

Idée: Diviser Ω en parties disjointes

🎯

But: Calculer P(A) à partir des P(A∩Bᵢ)

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Utilité: Simplifie les calculs complexes

Méthodes & Conseils

🔍

Identifier une partition de l'univers

📝

Calculer les probabilités conditionnelles

🎯

Appliquer la formule étape par étape

📏

Vérifier que la somme des probabilités vaut 1

💡

Utiliser un arbre pondéré pour visualiser

Erreurs Fréquentes

Erreur 1 :

Ne pas vérifier que les Bᵢ forment une partition

Erreur 2 :

Oublier de multiplier par P(Bᵢ)

Erreur 3 :

Confondre P(A|Bᵢ) et P(Bᵢ|A)

Erreur 4 :

Appliquer la formule sans conditions initiales

Applications concrètes

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Tests médicaux: Calcul de probabilité de maladie

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Qualité industrielle: Probabilité de défaut

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Marketing: Probabilité d'achat selon segments

🎯

Finance: Risque de crédit selon catégories

Exemples détaillés

Exemple 1 :

Usine avec 3 machines A, B, C produisant 30%, 50%, 20% des pièces
Pannes: 2%, 3%, 1% respectivement
P(Panne) = 0.3×0.02 + 0.5×0.03 + 0.2×0.01 = 0.023

Exemple 2 :

60% hommes, 40% femmes dans une entreprise
Hommes: 10% cadres, Femmes: 15% cadres
P(Cadre) = 0.6×0.1 + 0.4×0.15 = 0.12