Construction d'un arbre pondéré
Règle 1:
Somme des probabilités des branches issues d'un même nœud = 1
Somme des probabilités des branches issues d'un même nœud = 1
Règle 2:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) (probabilité d'un chemin)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) (probabilité d'un chemin)
Exemple :
Lancer d'une pièce truquée: P(Pile)=0.6, P(Face)=0.4
Si Pile: P(Succès)=0.7, P(Échec)=0.3
Si Face: P(Succès)=0.2, P(Échec)=0.8
P(Succès) = 0.6×0.7 + 0.4×0.2 = 0.5
Si Pile: P(Succès)=0.7, P(Échec)=0.3
Si Face: P(Succès)=0.2, P(Échec)=0.8
P(Succès) = 0.6×0.7 + 0.4×0.2 = 0.5
Règles de calcul
Somme des probabilités sortant d'un nœud = 1
Probabilité d'un chemin = produit des probabilités
P(A) = somme des probabilités des chemins aboutissant à A
P(A|B) = probabilité de A sachant B
Structure de l'arbre
Racine: Événement certain Ω
Nœuds: Événements intermédiaires
Feuilles: Événements finaux
Branches: Probabilités conditionnelles
Méthodes & Conseils
Identifier tous les événements possibles
Placer les probabilités sur les branches
Vérifier que la somme = 1 pour chaque nœud
Multiplier les probabilités le long d'un chemin
Additionner les chemins menant au même événement
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Oublier de vérifier que la somme = 1 pour chaque nœud
Erreur 2 :
Additionner plutôt que multiplier les probabilités d'un chemin
Erreur 3 :
Confondre P(A|B) et P(B|A)
Erreur 4 :
Ne pas tenir compte de l'ordre des événements
Applications concrètes
Tests médicaux: Sensibilité, spécificité
Qualité industrielle: Contrôles successifs
Jeu de hasard: Succession d'épreuves
Arbre de décision: Analyse de scénarios
Exemples détaillés
Exemple 1 :
Tirage successif sans remise
Urne: 3 rouges, 2 bleues
P(R₁ ∩ B₂) = P(R₁) × P(B₂|R₁) = (3/5) × (2/4) = 3/10
Urne: 3 rouges, 2 bleues
P(R₁ ∩ B₂) = P(R₁) × P(B₂|R₁) = (3/5) × (2/4) = 3/10
Exemple 2 :
Étudiants: 60% garçons (10% sportifs), 40% filles (15% sportives)
P(Sportif) = 0.6×0.1 + 0.4×0.15 = 0.12
P(Sportif) = 0.6×0.1 + 0.4×0.15 = 0.12
