Arbre pondéré : Représentation graphique d'une succession d'événements probabilistes où chaque branche est affectée d'une probabilité conditionnelle.
- Identifier les événements de chaque étape
- Placer les probabilités sur les branches
- Appliquer la règle des produits pour chaque chemin
- Appliquer la règle des sommes pour l'événement demandé
3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B)
Total : 5 boules
Premier tirage : \(P(R_1) = \frac{3}{5}\), \(P(B_1) = \frac{2}{5}\)
Si \(R_1\) est réalisé : il reste 2R et 2B → \(P(R_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), \(P(B_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
Si \(B_1\) est réalisé : il reste 3R et 1B → \(P(R_2|B_1) = \frac{3}{4}\), \(P(B_2|B_1) = \frac{1}{4}\)
\(P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}\)
\(P(R_1 \cap B_2) = P(R_1) \times P(B_2|R_1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}\)
\(P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \times P(R_2|B_1) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)
\(P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2|B_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}\)
"Même couleur" = \((R_1 \cap R_2) \cup (B_1 \cap B_2)\)
\(P(\text{même couleur}) = P(R_1 \cap R_2) + P(B_1 \cap B_2) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
La probabilité de tirer deux boules de la même couleur est de \(\frac{2}{5}\) ou 40%.
• Règle des produits : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)\)
• Règle des sommes : \(P(\text{évènement}) = \sum \text{probabilités des chemins}\)
• Événements disjoints : On additionne les probabilités des chemins favorables
Probabilité marginale : Probabilité d'un événement sans tenir compte des conditions antérieures.
F : "être une fille", G : "être un garçon"
L : "porter des lunettes"
\(P(F) = 0.6\), \(P(G) = 0.4\)
\(P(L|F) = 0.3\), \(P(L|G) = 0.4\)
1er niveau : F (0.6) et G (0.4)
2e niveau : F → L (0.3), \(\overline{L}\) (0.7) et G → L (0.4), \(\overline{L}\) (0.6)
\(P(F \cap L) = P(F) \times P(L|F) = 0.6 \times 0.3 = 0.18\)
\(P(G \cap L) = P(G) \times P(L|G) = 0.4 \times 0.4 = 0.16\)
\(P(L) = P(F \cap L) + P(G \cap L) = 0.18 + 0.16 = 0.34\)
34% des élèves portent des lunettes
La probabilité qu'un élève choisi au hasard porte des lunettes est de 0.34 ou 34%.
• Formule des probabilités totales : \(P(L) = P(L \cap F) + P(L \cap G)\)
• Règle des produits : \(P(L \cap F) = P(F) \times P(L|F)\)
• Règle des sommes : Addition des chemins menant à l'événement
Expérience composée : Suite de plusieurs expériences aléatoires reliées entre elles.
Étape 1 : Lancer du dé (pair ou impair)
Étape 2 : Tirer une boule (blanche ou noire)
\(P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (faces 2, 4, 6)
\(P(\text{impair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (faces 1, 3, 5)
Si pair : Urne A (3B, 2N) → \(P(B|\text{pair}) = \frac{3}{5}\), \(P(N|\text{pair}) = \frac{2}{5}\)
Si impair : Urne B (1B, 4N) → \(P(B|\text{impair}) = \frac{1}{5}\), \(P(N|\text{impair}) = \frac{4}{5}\)
1er niveau : Pair (1/2), Impair (1/2)
2e niveau : Pair → B (3/5), N (2/5) et Impair → B (1/5), N (4/5)
\(P(\text{pair} \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}\)
\(P(\text{impair} \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{10}\)
\(P(B) = P(\text{pair} \cap B) + P(\text{impair} \cap B) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
La probabilité de tirer une boule blanche est de \(\frac{2}{5}\) ou 40%.
• Formule des probabilités totales : \(P(B) = \sum P(\text{chemin vers B})\)
• Règle des produits : Multiplier les probabilités le long d'un chemin
• Règle des sommes : Additionner les probabilités des chemins favorables
Test diagnostique : Situation où un test peut être positif chez les malades et chez les non-malades (faux positifs).
M : "être malade", \(\overline{M}\) : "être non-malade"
T : "le test est positif", \(\overline{T}\) : "le test est négatif"
\(P(M) = 0.05\), \(P(\overline{M}) = 0.95\)
\(P(T|M) = 0.90\), \(P(T|\overline{M}) = 0.10\)
\(P(\overline{T}|M) = 0.10\), \(P(\overline{T}|\overline{M}) = 0.90\)
1er niveau : M (0.05), \(\overline{M}\) (0.95)
2e niveau : M → T (0.90), \(\overline{T}\) (0.10) et \(\overline{M}\) → T (0.10), \(\overline{T}\) (0.90)
\(P(M \cap T) = P(M) \times P(T|M) = 0.05 \times 0.90 = 0.045\)
\(P(\overline{M} \cap T) = P(\overline{M}) \times P(T|\overline{M}) = 0.95 \times 0.10 = 0.095\)
\(P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0.045 + 0.095 = 0.140\)
14% des tests seront positifs
Sur 100 tests, environ 14 seront positifs
La probabilité que le test soit positif est de 0.140 ou 14%.
• Formule des probabilités totales : \(P(T) = P(T \cap M) + P(T \cap \overline{M})\)
• Règle des produits : \(P(T \cap M) = P(M) \times P(T|M)\)
• Application : Utile pour analyser les performances des tests médicaux
Produits défectueux : Situation où la probabilité de défaut dépend de la marque du produit.
A : "l'article est de marque A", B : "l'article est de marque B"
D : "l'article est défectueux", \(\overline{D}\) : "l'article est non défectueux"
\(P(A) = 0.70\), \(P(B) = 0.30\)
\(P(D|A) = 0.05\), \(P(D|B) = 0.15\)
\(P(\overline{D}|A) = 0.95\), \(P(\overline{D}|B) = 0.85\)
1er niveau : A (0.70), B (0.30)
2e niveau : A → D (0.05), \(\overline{D}\) (0.95) et B → D (0.15), \(\overline{D}\) (0.85)
\(P(A \cap D) = P(A) \times P(D|A) = 0.70 \times 0.05 = 0.035\)
\(P(B \cap D) = P(B) \times P(D|B) = 0.30 \times 0.15 = 0.045\)
\(P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0.035 + 0.045 = 0.080\)
8% des articles sont défectueux
Soit 8 articles défectueux sur 100
La probabilité qu'un article choisi au hasard soit défectueux est de 0.080 ou 8%.
• Formule des probabilités totales : \(P(D) = P(D \cap A) + P(D \cap B)\)
• Règle des produits : \(P(D \cap A) = P(A) \times P(D|A)\)
• Application : Utile pour analyser la qualité dans les chaînes de production
- Étape 1 : Identifier les événements de chaque étape de l'expérience
- Étape 2 : Placer les probabilités sur les branches du premier niveau
- Étape 3 : Pour chaque nœud, placer les probabilités conditionnelles
- Étape 4 : Calculer la probabilité de chaque chemin (produit des branches)
- Étape 5 : Pour un événement, additionner les probabilités des chemins y aboutissant
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches le composant
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent
- Les arbres pondérés sont particulièrement utiles pour les expériences composées
- On peut utiliser les arbres pour visualiser la formule des probabilités totales
