Formule des probabilités totales : Si \(A_1, A_2, ..., A_n\) forment un système complet d'événements, alors pour tout événement B : \(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i) \times P(A_i)\).
- Identifier les événements formant un système complet
- Définir l'événement B dont on veut calculer la probabilité
- Appliquer la formule des probabilités totales
- Calculer chaque terme de la somme
Soit A : "la pièce est produite par la machine A"
Soit B : "la pièce est produite par la machine B"
Les événements A et B forment un système complet : \(P(A) = 0.6\) et \(P(B) = 0.4\)
D : "la pièce est défectueuse"
On connaît : \(P(D|A) = 0.02\) et \(P(D|B) = 0.05\)
\(P(D) = P(D|A) \times P(A) + P(D|B) \times P(B)\)
\(P(D) = 0.02 \times 0.6 + 0.05 \times 0.4\)
\(P(D|A) \times P(A) = 0.02 \times 0.6 = 0.012\)
\(P(D|B) \times P(B) = 0.05 \times 0.4 = 0.020\)
\(P(D) = 0.012 + 0.020 = 0.032\)
La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est de 3.2%
La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est de 0.032 ou 3.2%.
• Formule des probabilités totales : \(P(B) = \sum P(B|A_i) \times P(A_i)\)
• Système complet : A et B sont disjoints et \(P(A) + P(B) = 1\)
• Calcul : Multiplier chaque probabilité conditionnelle par la probabilité marginale
Système complet : Les catégories sociales (étudiants, salariés, retraités) forment une partition de la population.
Soit E : "être étudiant", S : "être salarié", R : "être retraité"
\(P(E) = 0.30\), \(P(S) = 0.45\), \(P(R) = 0.25\)
Sp : "pratiquer une activité sportive"
\(P(Sp|E) = 0.10\), \(P(Sp|S) = 0.20\), \(P(Sp|R) = 0.05\)
\(P(E) + P(S) + P(R) = 0.30 + 0.45 + 0.25 = 1.00\) ✓
\(P(Sp) = P(Sp|E) \times P(E) + P(Sp|S) \times P(S) + P(Sp|R) \times P(R)\)
\(P(Sp|E) \times P(E) = 0.10 \times 0.30 = 0.030\)
\(P(Sp|S) \times P(S) = 0.20 \times 0.45 = 0.090\)
\(P(Sp|R) \times P(R) = 0.05 \times 0.25 = 0.0125\)
\(P(Sp) = 0.030 + 0.090 + 0.0125 = 0.1325\)
La proportion de sportifs dans la population est de 13.25%.
• Système complet : E, S, R forment une partition de la population
• Formule des probabilités totales : \(P(Sp) = \sum P(Sp|Catégorie) \times P(Catégorie)\)
• Calcul : Additionner tous les produits de probabilités conditionnelles
Renforcement : Après avoir tiré une boule, on la remet avec une boule supplémentaire de la même couleur.
3 boules blanches (B) et 2 boules noires (N)
Total : 5 boules
Soit B₁ : "tirer une blanche au premier tirage"
Soit N₁ : "tirer une noire au premier tirage"
\(P(B_1) = \frac{3}{5} = 0.6\) et \(P(N_1) = \frac{2}{5} = 0.4\)
Si B₁ se réalise : 4B et 2N (total 6) → \(P(B_2|B_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
Si N₁ se réalise : 3B et 3N (total 6) → \(P(B_2|N_1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(P(B_2) = P(B_2|B_1) \times P(B_1) + P(B_2|N_1) \times P(N_1)\)
\(P(B_2|B_1) \times P(B_1) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)
\(P(B_2|N_1) \times P(N_1) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)
\(P(B_2) = \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}\)
\(P(B_2) = \frac{3}{5} = 0.6\), ce qui est la même probabilité que pour le premier tirage
La probabilité de tirer une boule blanche au second tirage est de \(\frac{3}{5}\) ou 60%.
• Formule des probabilités totales : \(P(B_2) = P(B_2|B_1)P(B_1) + P(B_2|N_1)P(N_1)\)
• Modification de l'urne : La composition change après chaque tirage
• Calcul : Adapter les probabilités conditionnelles en fonction de l'état de l'urne
Test diagnostique : Un test peut être positif chez les malades et chez les non-malades (faux positifs).
Soit M : "être malade", \(\overline{M}\) : "être non-malade"
\(P(M) = 0.01\) et \(P(\overline{M}) = 0.99\)
T : "le test est positif"
\(P(T|M) = 0.90\) (sensibilité) et \(P(T|\overline{M}) = 0.05\) (faux positifs)
\(P(T) = P(T|M) \times P(M) + P(T|\overline{M}) \times P(\overline{M})\)
\(P(T|M) \times P(M) = 0.90 \times 0.01 = 0.009\)
\(P(T|\overline{M}) \times P(\overline{M}) = 0.05 \times 0.99 = 0.0495\)
\(P(T) = 0.009 + 0.0495 = 0.0585\)
La probabilité qu'un test soit positif est de 5.85%
Sur 100 tests, environ 5.85 seront positifs
Seulement 0.9% correspondront à des vrais malades
La probabilité qu'un test soit positif est de 0.0585 ou 5.85%.
• Formule des probabilités totales : \(P(T) = P(T|M)P(M) + P(T|\overline{M})P(\overline{M})\)
• Système complet : M et \(\overline{M}\) forment une partition
• Analyse : Même un bon test peut donner beaucoup de faux positifs si la maladie est rare
Satisfaction : La satisfaction dépend de la marque achetée.
Soit A : "avoir acheté la marque A", B : "avoir acheté la marque B", C : "avoir acheté la marque C"
\(P(A) = 0.40\), \(P(B) = 0.35\), \(P(C) = 0.25\)
S : "le client est satisfait"
\(P(S|A) = 0.80\), \(P(S|B) = 0.70\), \(P(S|C) = 0.90\)
\(P(A) + P(B) + P(C) = 0.40 + 0.35 + 0.25 = 1.00\) ✓
\(P(S) = P(S|A) \times P(A) + P(S|B) \times P(B) + P(S|C) \times P(C)\)
\(P(S|A) \times P(A) = 0.80 \times 0.40 = 0.320\)
\(P(S|B) \times P(B) = 0.70 \times 0.35 = 0.245\)
\(P(S|C) \times P(C) = 0.90 \times 0.25 = 0.225\)
\(P(S) = 0.320 + 0.245 + 0.225 = 0.790\)
79% des clients sont satisfaits
La probabilité qu'un client pris au hasard soit satisfait est de 0.790 ou 79%.
• Formule des probabilités totales : \(P(S) = \sum P(S|Marque) \times P(Marque)\)
• Système complet : A, B, C forment une partition du marché
• Calcul : Chaque segment contribue proportionnellement à la satisfaction globale
- Formule générale : \(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i) \times P(A_i)\)
- Formule à 2 événements : \(P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A})\)
- Arbre pondéré : Multiplier les probabilités sur chaque branche
- Événements disjoints : Additionner les probabilités des chemins menant à B
- Application : Combiner avec le théorème de Bayes pour les probabilités "à rebours"
- Les événements \(A_1, A_2, ..., A_n\) doivent être deux à deux disjoints
- La réunion des événements du système complet doit être l'univers entier
- La somme des probabilités des événements du système complet est égale à 1
- La formule s'applique à tout événement B dont on veut calculer la probabilité
- Elle est particulièrement utile dans les situations où les probabilités conditionnelles sont connues
