Formule des probabilités totales
Introduction
Découvrez comment décomposer un événement complexe
Contexte et motivation
Pourquoi cette formule ?
Dans une entreprise, on veut calculer la probabilité qu'un employé soit absent un jour donné. Mais cette absence peut dépendre de plusieurs facteurs : le service auquel il appartient, son âge, son statut marital, etc.
Comment calculer cette probabilité globale à partir des probabilités conditionnelles ?
Calculer la probabilité d'un événement B en connaissant :
- Les probabilités d'un ensemble complet d'événements A₁, A₂, ..., Aₙ
- Les probabilités conditionnelles P(B|Aᵢ) pour chaque i
Définition de la formule
Énoncé du théorème
Soit A₁, A₂, ..., Aₙ un système complet d'événements (partition de Ω), c'est-à-dire :
- Les Aᵢ sont deux à deux disjoints : Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ si i ≠ j
- Leur union est Ω : A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ = Ω
- P(Aᵢ) > 0 pour tout i ∈ {1, 2, ..., n}
Alors, pour tout événement B :
La probabilité de B est la somme pondérée des probabilités conditionnelles de B sachant chaque cause possible Aᵢ.
Chaque terme P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ) représente la contribution de la cause Aᵢ à la probabilité totale de B.
Cas particulier avec 2 événements
Formule avec deux événements
Soit A un événement tel que 0 < P(A) < 1. Alors {A, A^c} forme un système complet d'événements.
Pour tout événement B :
Ce cas est très courant car on peut toujours décomposer un événement en "ce qui se passe" et "ce qui ne se passe pas".
Par exemple : "avoir un diplôme" et "ne pas avoir de diplôme", "être malade" et "être sain", etc.
Exemple concret
Application numérique
Une entreprise a deux usines A et B. L'usine A produit 60% des articles, l'usine B produit 40%. La probabilité qu'un article soit défectueux est de 2% dans l'usine A et 5% dans l'usine B.
On prend un article au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?
A = "l'article provient de l'usine A", B = "l'article provient de l'usine B"
D = "l'article est défectueux"
2 On a : P(A) = 0.6, P(B) = 0.4
P(D|A) = 0.02, P(D|B) = 0.05
3 Par la formule des probabilités totales :
P(D) = P(A) × P(D|A) + P(B) × P(D|B)
P(D) = 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032
Arbre de probabilité
Représentation visuelle
Un arbre de probabilité est un excellent outil pour visualiser les situations où la formule des probabilités totales s'applique.
On place les probabilités des événements de la partition sur les branches de premier niveau, puis les probabilités conditionnelles sur les branches suivantes.
La probabilité d'un événement est la somme des produits des probabilités sur les chemins qui y conduisent.
- Sur chaque branche issue d'un nœud, la somme des probabilités est 1
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y conduisent
Lien avec la formule de Bayes
Connexion entre les formules
La formule de Bayes permet de calculer des probabilités "à rebours" : connaissant P(B|A), on peut déterminer P(A|B).
Le dénominateur P(B) est souvent calculé à l'aide de la formule des probabilités totales.
Si A₁, A₂, ..., Aₙ forment un système complet d'événements, alors pour tout i :
Le dénominateur est la formule des probabilités totales.
Exercice d'application
Problème complet
Une population est composée de 40% d'hommes et 60% de femmes. Parmi les hommes, 15% portent des lunettes. Parmi les femmes, 20% portent des lunettes.
On sélectionne une personne au hasard.
1. Calculer la probabilité qu'elle porte des lunettes.
2. Sachant que la personne porte des lunettes, quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Soit H l'événement "être un homme", F l'événement "être une femme", et L l'événement "porter des lunettes".
P(H) = 0.4, P(F) = 0.6
P(L|H) = 0.15, P(L|F) = 0.20
Par la formule des probabilités totales :
P(L) = P(L|H) × P(H) + P(L|F) × P(F)
P(L) = 0.15 × 0.4 + 0.20 × 0.6 = 0.06 + 0.12 = 0.18
Suite de la solution
Correction détaillée (suite)
On cherche P(F|L) : la probabilité que la personne soit une femme sachant qu'elle porte des lunettes.
Par la formule de Bayes :
P(F|L) = [P(L|F) × P(F)] / P(L)
P(F|L) = (0.20 × 0.6) / 0.18 = 0.12 / 0.18 = 12/18 = 2/3 ≈ 0.667
De manière similaire : P(H|L) = [P(L|H) × P(H)] / P(L) = (0.15 × 0.4) / 0.18 = 0.06 / 0.18 = 1/3 ≈ 0.333
Vérification : P(H|L) + P(F|L) = 1/3 + 2/3 = 1 ✓
Exercice d'application 2
Problème complet
Dans une usine, trois machines A, B et C produisent respectivement 30%, 50% et 20% des pièces. Les taux de défaut sont respectivement de 2%, 3% et 5%.
On prélève une pièce au hasard.
1. Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse.
2. Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine B ?
Solution de l'exercice 2
Correction détaillée
Soit A, B, C les événements "la pièce vient de la machine A, B, C" et D l'événement "la pièce est défectueuse".
P(A) = 0.30, P(B) = 0.50, P(C) = 0.20
P(D|A) = 0.02, P(D|B) = 0.03, P(D|C) = 0.05
Par la formule des probabilités totales :
P(D) = P(D|A) × P(A) + P(D|B) × P(B) + P(D|C) × P(C)
P(D) = 0.02 × 0.30 + 0.03 × 0.50 + 0.05 × 0.20
P(D) = 0.006 + 0.015 + 0.010 = 0.031
Suite de la solution exercice 2
Correction détaillée (suite)
On cherche P(B|D) : la probabilité que la pièce vienne de la machine B sachant qu'elle est défectueuse.
Par la formule de Bayes :
P(B|D) = [P(D|B) × P(B)] / P(D)
P(B|D) = (0.03 × 0.50) / 0.031 = 0.015 / 0.031 = 15/31 ≈ 0.484
Bien que la machine B ne produise que 50% des pièces, elle est responsable de 48.4% des pièces défectueuses. Cela montre que la machine B a un taux de défaut modéré mais que sa production importante en fait une source importante de pièces défectueuses.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Médecine (tests de dépistage, diagnostic)
- 2 Assurance (calcul de primes)
- 3 Intelligence artificielle (classification)
- 4 Qualité industrielle (contrôle de fabrication)
- 5 Marketing (analyse de comportement client)
Un test médical a une sensibilité de 95% (probabilité de positif si malade) et une spécificité de 90% (probabilité de négatif si sain). Si la prévalence de la maladie est de 1%, quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ? On utilise la formule des probabilités totales pour calculer P(test positif), puis la formule de Bayes pour obtenir P(malade|test positif).
Résumé
Points clés
Cette formule s'applique quand {A₁, A₂, ..., Aₙ} est un système complet d'événements.
Où P(B) est calculé avec la formule des probabilités totales.
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences