Événements indépendants et dépendants

La probabilité conditionnelle P(A|B) représente la probabilité que l'événement A se réalise sachant que l'événement B s'est déjà réalisé.

Cela revient à réduire l'espace des possibles à l'événement B.

• Le résultat d'un premier lancé de dé et d'un second lancé
• Le sexe d'un enfant et le fait qu'il soit né un lundi
• Le tirage de deux cartes avec remise

Deux événements A et B sont dépendants si la réalisation de l'un influence la probabilité de réalisation de l'autre.

Cela signifie que :

Et que :

• Le tirage de deux cartes sans remise
• La température et le taux d'humidité
• Le niveau de scolarité et le revenu

1 P(A) = 1/6 (probabilité d'obtenir un 6 au premier lancer)
2 P(B) = 1/6 (probabilité d'obtenir un 6 au second lancer)
3 P(A ∩ B) = 1/36 (probabilité d'obtenir un 6 aux deux lancers)
4 P(A) × P(B) = (1/6) × (1/6) = 1/36
5 Comme P(A ∩ B) = P(A) × P(B), les événements A et B sont indépendants

1 P(A) = 3/5 (3 rouges sur 5 boules au départ)
2 P(B|A) = 2/4 = 1/2 (après avoir tiré une rouge, il reste 4 boules dont 2 bleues)
3 P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = (3/5) × (1/2) = 3/10
4 P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|A^c) × P(A^c) = (1/2) × (3/5) + (1/4) × (2/5) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5
5 P(A) × P(B) = (3/5) × (2/5) = 6/25 ≠ 3/10 = P(A ∩ B)

Un arbre de probabilité permet de visualiser toutes les issues possibles d'une succession d'expériences aléatoires.

Sur chaque branche, on indique la probabilité conditionnelle correspondante.

La probabilité d'une succession d'événements est le produit des probabilités sur les branches.

• Sur chaque branche issue d'un nœud, la somme des probabilités est 1
• La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches
• La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y conduisent

Soit A₁, A₂, ..., Aₙ un système complet d'événements (partition de Ω), c'est-à-dire :

• Les Aᵢ sont deux à deux disjoints
• Leur union est Ω
• P(Aᵢ) > 0 pour tout i

Alors pour tout événement B :

La formule des probabilités totales s'utilise souvent avec les arbres de probabilité.

Elle permet de calculer la probabilité d'un événement en sommant les probabilités de tous les chemins qui y conduisent.

Soit A et B deux événements tels que P(A) > 0 et P(B) > 0. Alors :

Cette formule permet de calculer la probabilité "à rebours" : connaissant P(B|A), on peut déterminer P(A|B).

Si A₁, A₂, ..., Aₙ forment un système complet d'événements, alors pour tout i :

Soit F l'événement "être une femme", H l'événement "être un homme", et C l'événement "être cadre".

P(F) = 0.6, P(H) = 0.4

P(C|F) = 0.15, P(C|H) = 0.25

Par la formule des probabilités totales :

P(C) = P(C|F) × P(F) + P(C|H) × P(H)

P(C) = 0.15 × 0.6 + 0.25 × 0.4 = 0.09 + 0.1 = 0.19

On cherche P(F|C) : la probabilité qu'une personne soit une femme sachant qu'elle est cadre.

Par la formule de Bayes :

P(F|C) = [P(C|F) × P(F)] / P(C)

P(F|C) = (0.15 × 0.6) / 0.19 = 0.09 / 0.19 = 9/19 ≈ 0.474

Pour tester l'indépendance entre F et C, on compare P(F) et P(F|C).

P(F) = 0.6

P(F|C) = 9/19 ≈ 0.474

Comme P(F) ≠ P(F|C), les événements F et C sont dépendants.

P(A) = 4/7 (4 rouges sur 7 jetons au départ)

P(B|A) = 3/6 = 1/2 (après avoir tiré un rouge, il reste 6 jetons dont 3 bleus)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = (4/7) × (1/2) = 4/14 = 2/7

Pour calculer P(B), on utilise la formule des probabilités totales :

P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|A^c) × P(A^c)

P(B) = (1/2) × (4/7) + (2/6) × (3/7) = 4/14 + 6/42 = 12/42 + 6/42 = 18/42 = 3/7

P(A) × P(B) = (4/7) × (3/7) = 12/49

P(A ∩ B) = 2/7 = 14/49

Comme P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B), les événements A et B sont dépendants.

On cherche P(A|B) : la probabilité que le premier jeton soit rouge sachant que le deuxième est bleu.

Par la formule de Bayes :

P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B)

P(A|B) = (1/2 × 4/7) / (3/7) = (4/14) / (3/7) = (4/14) × (7/3) = 28/42 = 2/3

On peut vérifier avec la formule P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B) :

P(A|B) × P(B) = (2/3) × (3/7) = 6/21 = 2/7 = P(A ∩ B) ✓

Les calculs sont corrects.

• 1 Médecine (tests de dépistage, diagnostic)
• 2 Finance (analyse de risque, crédit)
• 3 Intelligence artificielle (apprentissage probabiliste)
• 4 Qualité industrielle (contrôle de fabrication)
• 5 Marketing (analyse de comportement client)

Un test médical a une sensibilité de 95% (probabilité de positif si malade) et une spécificité de 90% (probabilité de négatif si sain). Si la prévalence de la maladie est de 1%, quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ? On utilise la formule de Bayes pour répondre à cette question cruciale.