Arbres pondérés
Introduction
Découvrez comment représenter les situations probabilistes
Contexte et motivation
Pourquoi les arbres pondérés ?
Imaginons que vous jouiez à un jeu qui se déroule en plusieurs étapes. À chaque étape, il y a plusieurs choix possibles, chacun avec une certaine probabilité. Comment représenter cette situation de manière claire ? Comment calculer la probabilité d'atteindre un certain résultat final ?
Les arbres pondérés offrent une solution visuelle et intuitive.
- Visualisation claire des différentes issues possibles
- Calcul facile des probabilités d'événements composés
- Application directe des formules de probabilités conditionnelles
- Aide à la compréhension des phénomènes aléatoires complexes
Définition des arbres pondérés
Structure d'un arbre pondéré
Un arbre pondéré est un diagramme qui représente une succession d'événements aléatoires, où :
- Les nœuds représentent les états possibles
- Les branches représentent les transitions entre les états
- Les probabilités sont indiquées sur les branches
- À partir de chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes est égale à 1
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent
- La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y conduisent
Construction d'un arbre pondéré
Étapes de construction
- Identifier les différentes étapes de l'expérience
- Représenter chaque étape par un niveau de l'arbre
- Indiquer les événements possibles à chaque étape
- Attribuer les probabilités appropriées à chaque branche
- Vérifier que la somme des probabilités en chaque nœud est égale à 1
- Chaque branche représente un événement possible
- Les probabilités sont écrites sur les branches
- Les événements sont écrits au bout des branches
- On commence toujours par un nœud racine
Exemple concret
Application numérique
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise.
Construire l'arbre pondéré et calculer la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.
P(R) = 3/5, P(B) = 2/5
2 Second tirage (selon le premier) :
Si R au premier : P(R) = 2/4, P(B) = 2/4
Si B au premier : P(R) = 3/4, P(B) = 1/4
3 Chemins favorables à "même couleur" :
RR : (3/5) × (2/4) = 6/20
BB : (2/5) × (1/4) = 2/20
4 Probabilité finale :
P(même couleur) = 6/20 + 2/20 = 8/20 = 2/5
Règles de calcul
Formules de base
La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui le composent.
Si un chemin passe par les événements A, B, C, alors :
La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui y conduisent.
Si un événement E est atteint par les chemins C₁, C₂, ..., Cₙ, alors :
Lien avec les probabilités conditionnelles
Connexion entre les concepts
Chaque branche d'un arbre pondéré représente une probabilité conditionnelle :
- La probabilité sur une branche reliant A à B est P(B|A)
- Elle représente la probabilité que B se réalise sachant que A s'est produit
- Cela illustre parfaitement la notion de probabilité conditionnelle
Les arbres pondérés sont une excellente illustration de la formule des probabilités totales :
Chaque terme P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ) correspond à un chemin menant à B.
Exercice d'application
Problème complet
Une entreprise a deux usines A et B. L'usine A produit 60% des articles, l'usine B produit 40%. La probabilité qu'un article soit défectueux est de 2% dans l'usine A et 5% dans l'usine B.
On sélectionne un article au hasard.
1. Construire l'arbre pondéré de cette situation.
2. Calculer la probabilité qu'il soit défectueux.
3. Sachant que l'article est défectueux, quelle est la probabilité qu'il vienne de l'usine A ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Soit A l'événement "l'article provient de l'usine A", B l'événement "l'article provient de l'usine B", et D l'événement "l'article est défectueux".
Niveau 1 : P(A) = 0.6, P(B) = 0.4
Niveau 2 : P(D|A) = 0.02, P(D^c|A) = 0.98
P(D|B) = 0.05, P(D^c|B) = 0.95
Par la formule des probabilités totales :
P(D) = P(A) × P(D|A) + P(B) × P(D|B)
P(D) = 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.012 + 0.02 = 0.032
Suite de la solution
Correction détaillée (suite)
On cherche P(A|D) : la probabilité que l'article vienne de l'usine A sachant qu'il est défectueux.
Par la formule de Bayes :
P(A|D) = [P(D|A) × P(A)] / P(D)
P(A|D) = (0.02 × 0.6) / 0.032 = 0.012 / 0.032 = 12/32 = 3/8 = 0.375
De manière similaire : P(B|D) = [P(D|B) × P(B)] / P(D) = (0.05 × 0.4) / 0.032 = 0.02 / 0.032 = 20/32 = 5/8 = 0.625
Vérification : P(A|D) + P(B|D) = 3/8 + 5/8 = 1 ✓
Exercice d'application 2
Problème complet
Dans une classe, 60% des élèves sont des filles. Parmi les filles, 25% portent des lunettes. Parmi les garçons, 40% portent des lunettes.
On sélectionne un élève au hasard.
1. Construire l'arbre pondéré de cette situation.
2. Calculer la probabilité qu'il porte des lunettes.
3. Sachant qu'il porte des lunettes, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
Solution de l'exercice 2
Correction détaillée
Soit F l'événement "être une fille", G l'événement "être un garçon", et L l'événement "porter des lunettes".
Niveau 1 : P(F) = 0.6, P(G) = 0.4
Niveau 2 : P(L|F) = 0.25, P(L^c|F) = 0.75
P(L|G) = 0.40, P(L^c|G) = 0.60
Par la formule des probabilités totales :
P(L) = P(F) × P(L|F) + P(G) × P(L|G)
P(L) = 0.6 × 0.25 + 0.4 × 0.40 = 0.15 + 0.16 = 0.31
Suite de la solution exercice 2
Correction détaillée (suite)
On cherche P(F|L) : la probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il porte des lunettes.
Par la formule de Bayes :
P(F|L) = [P(L|F) × P(F)] / P(L)
P(F|L) = (0.25 × 0.6) / 0.31 = 0.15 / 0.31 ≈ 0.484
Bien que les filles représentent 60% de la classe, elles ne représentent que 48.4% des élèves portant des lunettes. Cela montre que les garçons ont un taux de port de lunettes plus élevé (40% contre 25%), ce qui compense partiellement leur moindre proportion dans la classe.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Médecine (tests de dépistage, diagnostic)
- 2 Assurance (calcul de risques)
- 3 Intelligence artificielle (arbres de décision)
- 4 Qualité industrielle (contrôle de fabrication)
- 5 Marketing (analyse de comportement client)
Un test médical a une sensibilité de 95% (probabilité de positif si malade) et une spécificité de 90% (probabilité de négatif si sain). Si la prévalence de la maladie est de 1%, quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ? On construit un arbre pondéré avec les événements "malade"/"sain" et "test positif"/"test négatif", puis on applique les règles de calcul pour obtenir la probabilité demandée.
Résumé
Points clés
- Nœuds : représentent les états possibles
- Branches : représentent les transitions entre les états
- Probabilités : indiquées sur les branches
- Règle du produit : P(chemin) = produit des probabilités des branches
- Règle de la somme : P(événement) = somme des probabilités des chemins y conduisant
- À chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes est 1
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences