Arbre pondéré : Représentation graphique des probabilités conditionnelles où chaque branche porte une probabilité. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
- Identifier les événements de base (Fille/Garçon)
- Tracer les branches principales avec leurs probabilités
- Ajouter les branches secondaires (Sport/Non Sport)
- Appliquer la formule des probabilités totales
F : "être une fille", G : "être un garçon", S : "pratiquer un sport"
\(P(F) = 0.6\), \(P(G) = 0.4\), \(P(S|F) = 0.7\), \(P(S|G) = 0.8\)
\(P(S) = P(S \cap F) + P(S \cap G)\)
\(P(S) = P(S|F) \cdot P(F) + P(S|G) \cdot P(G)\)
\(P(S) = 0.7 \times 0.6 + 0.8 \times 0.4\)
\(P(S) = 0.42 + 0.32 = 0.74\)
La probabilité qu'un élève pratique un sport est de 0.74 ou 74%
• Formule des probabilités totales : \(P(B) = \sum P(B|A_i)P(A_i)\)
• Probabilité conditionnelle : \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)\)
• Arbre pondéré : Produit des probabilités le long d'un chemin
Formule de Bayes : Permet d'inverser les conditions. \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\)
- Identifier les événements (M : malade, T : test positif)
- Extraire toutes les probabilités données
- Appliquer la formule de Bayes
- Utiliser la formule des probabilités totales pour P(T)
M : "être malade", T : "test positif"
\(P(M) = 0.01\), \(P(\overline{M}) = 0.99\)
\(P(T|M) = 0.95\), \(P(\overline{T}|\overline{M}) = 0.98\), donc \(P(T|\overline{M}) = 0.02\)
\(P(T) = P(T|M) \cdot P(M) + P(T|\overline{M}) \cdot P(\overline{M})\)
\(P(T) = 0.95 \times 0.01 + 0.02 \times 0.99 = 0.0095 + 0.0198 = 0.0293\)
\(P(M|T) = \frac{P(T|M) \cdot P(M)}{P(T)}\)
\(P(M|T) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.0293} = \frac{0.0095}{0.0293} \approx 0.324\)
Si le test est positif, la probabilité d'être malade est d'environ 32.4%
• Formule de Bayes : \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\)
• Probabilités totales : \(P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A})\)
• Complémentaire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
Tirage sans remise : Lorsque l'on tire un objet sans le remettre, la composition de l'urne change pour le tirage suivant, d'où l'utilisation des probabilités conditionnelles.
- Identifier les événements (R₁ : 1ère rouge, R₂ : 2ème rouge)
- Déterminer les probabilités pour chaque tirage
- Appliquer la formule \(P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1)\)
Urn 8 boules (5R, 3V). On tire 2 boules sans remise.
\(P(R_1) = \frac{5}{8}\) (probabilité que la 1ère soit rouge)
Sachant que la 1ère boule est rouge, il reste 7 boules dont 4 rouges.
\(P(R_2|R_1) = \frac{4}{7}\)
\(P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1)\)
\(P(R_1 \cap R_2) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}\)
La probabilité que les 2 boules soient rouges est de \(\frac{5}{14}\) soit environ 35.7%
• Probabilité conditionnelle : \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)
• Tirage sans remise : La composition change après chaque tirage
• Fraction : \(\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas}}\)
Événements indépendants : A et B sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Cela signifie que \(P(A|B) = P(A)\).
- Identifier les événements (A : provient de A, D : défectueux)
- Extraire les probabilités connues
- Appliquer la formule de Bayes pour \(P(A|D)\)
- Calculer P(D) avec la formule des probabilités totales
A : "provenir de la machine A", B : "provenir de la machine B", D : "être défectueux"
\(P(A) = 0.6\), \(P(B) = 0.4\)
\(P(D|A) = 0.02\), \(P(D|B) = 0.03\)
\(P(D) = P(D|A) \cdot P(A) + P(D|B) \cdot P(B)\)
\(P(D) = 0.02 \times 0.6 + 0.03 \times 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024\)
\(P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)}\)
\(P(A|D) = \frac{0.02 \times 0.6}{0.024} = \frac{0.012}{0.024} = 0.5\)
La probabilité qu'un article défectueux vienne de la machine A est de 0.5 ou 50%
• Formule de Bayes : \(P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)}\)
• Probabilités totales : \(P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)\)
• Conditionnement : Calculer la probabilité sachant l'information
Événements conditionnels : La probabilité d'un événement peut dépendre d'un événement antérieur. Ici, le choix de l'urne dépend du résultat du dé.
- Identifier les événements (P : pair, R : rouge)
- Calculer P(P) et P(I) (pair et impair)
- Calculer P(R|P) et P(R|I) pour chaque urne
- Appliquer la formule des probabilités totales
Lancer de dé équilibré : P(pair) = P(impaire) = 1/2
Urn A : 3R, 2B → P(R|pair) = 3/5
Urn B : 2R, 3B → P(R|impaire) = 2/5
\(P(R) = P(R \cap \text{pair}) + P(R \cap \text{impaire})\)
\(P(R) = P(R|\text{pair}) \cdot P(\text{pair}) + P(R|\text{impaire}) \cdot P(\text{impaire})\)
\(P(R) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{2}\)
\(P(R) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
La probabilité de tirer une boule rouge est de 1/2 ou 50%
• Probabilités totales : \(P(R) = \sum P(R|A_i)P(A_i)\)
• Conditionnement : La probabilité dépend de l'événement antérieur
• Arbre pondéré : Visualiser les différentes étapes du processus
- Arbre pondéré : Dessiner toutes les branches possibles avec leurs probabilités
- Formule des probabilités totales : \(P(B) = \sum P(B|A_i)P(A_i)\)
- Formule de Bayes : \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\)
- Produit des probabilités : Sur un chemin de l'arbre, multiplier les probabilités
- \(0 \leq P(A|B) \leq 1\) pour toute probabilité conditionnelle
- \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)\)
- Si A et B sont indépendants, alors \(P(A|B) = P(A)\)
- Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches
