Probabilité conditionnelle : \(P(A|B)\) est la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé. \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
- Définir les événements : F (être une femme), D (avoir un diplôme)
- Extraire les probabilités données : P(F), P(D|F), P(D|H)
- Appliquer la formule de Bayes : P(F|D) = P(D|F)×P(F) / P(D)
- Calculer P(D) avec la formule des probabilités totales
F : "être une femme", H : "être un homme", D : "avoir un diplôme"
\(P(F) = 0.6\), \(P(H) = 0.4\)
\(P(D|F) = 0.7\), \(P(D|H) = 0.5\)
\(P(D) = P(D \cap F) + P(D \cap H)\)
\(P(D) = P(D|F) \cdot P(F) + P(D|H) \cdot P(H)\)
\(P(D) = 0.7 \times 0.6 + 0.5 \times 0.4 = 0.42 + 0.2 = 0.62\)
\(P(F|D) = \frac{P(D|F) \cdot P(F)}{P(D)}\)
\(P(F|D) = \frac{0.7 \times 0.6}{0.62} = \frac{0.42}{0.62} \approx 0.677\)
La probabilité qu'un employé diplômé soit une femme est d'environ 67.7%
• Formule de Bayes : \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\)
• Probabilités totales : \(P(B) = \sum P(B|A_i)P(A_i)\)
• Conditionnement : \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)\)
Sensibilité : Probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade (P(T+|M)). Spécificité : Probabilité que le test soit négatif sachant que la personne est saine (P(T-|S))
- Définir les événements : M (malade), T+ (test positif)
- Extraire les données : prévalence, sensibilité, spécificité
- Calculer P(T+) avec la formule des probabilités totales
- Appliquer la formule de Bayes pour P(M|T+)
M : "être malade", S : "être sain", T+ : "test positif", T- : "test négatif"
\(P(M) = 0.02\), \(P(S) = 0.98\)
\(P(T+|M) = 0.95\) (sensibilité), \(P(T-|S) = 0.90\) (spécificité)
Donc \(P(T+|S) = 1 - 0.90 = 0.10\)
\(P(T+) = P(T+|M) \cdot P(M) + P(T+|S) \cdot P(S)\)
\(P(T+) = 0.95 \times 0.02 + 0.10 \times 0.98\)
\(P(T+) = 0.019 + 0.098 = 0.117\)
\(P(M|T+) = \frac{P(T+|M) \cdot P(M)}{P(T+)}\)
\(P(M|T+) = \frac{0.95 \times 0.02}{0.117} = \frac{0.019}{0.117} \approx 0.162\)
La probabilité qu'une personne testée positive soit réellement malade est d'environ 16.2%
• Sensibilité : \(P(T^+|M)\) - capacité à détecter les vrais positifs
• Spécificité : \(P(T^-|S)\) - capacité à détecter les vrais négatifs
• Théorème de Bayes : Utile pour inférer la cause à partir de l'effet
Tirage sans remise : La composition de l'urne change à chaque tirage, ce qui crée des dépendances entre les événements. La probabilité du tirage suivant dépend des résultats précédents.
- Définir les événements : R₁, R₂, R₃ (tirer une rouge aux tirages 1, 2, 3)
- Calculer les probabilités conditionnelles pour chaque tirage
- Appliquer la formule de la probabilité composée : \(P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) \cdot P(R_3|R_1 \cap R_2)\)
Urn 10 boules (4R, 6V). On tire 3 boules sans remise.
\(P(R_1) = \frac{4}{10}\) (probabilité que la 1ère soit rouge)
Sachant que la 1ère boule est rouge : 3R, 6V restantes
\(P(R_2|R_1) = \frac{3}{9}\)
Sachant que les 2 premières sont rouges : 2R, 6V restantes
\(P(R_3|R_1 \cap R_2) = \frac{2}{8}\)
\(P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = P(R_1) \cdot P(R_2|R_1) \cdot P(R_3|R_1 \cap R_2)\)
\(P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\)
\(P(R_1 \cap R_2 \cap R_3) = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}\)
La probabilité que les 3 boules soient rouges est de \(\frac{1}{30}\) soit environ 3.33%
• Probabilité composée : \(P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)\)
• Tirage sans remise : La composition change après chaque tirage
• Conditionnement : La probabilité dépend des résultats précédents
Conditionnement inverse : On cherche à déterminer la source d'un événement observé (pièce défectueuse) en utilisant la formule de Bayes. Cela permet d'identifier la machine la plus probablement responsable.
- Définir les événements : A (provenir de A), B (provenir de B), D (défectueuse)
- Extraire les probabilités : P(A), P(B), P(D|A), P(D|B)
- Appliquer la formule de Bayes : P(A|D) = P(D|A)×P(A) / P(D)
- Calculer P(D) avec la formule des probabilités totales
A : "provenir de la machine A", B : "provenir de la machine B", D : "être défectueuse"
\(P(A) = 0.7\), \(P(B) = 0.3\)
\(P(D|A) = 0.03\), \(P(D|B) = 0.05\)
\(P(D) = P(D|A) \cdot P(A) + P(D|B) \cdot P(B)\)
\(P(D) = 0.03 \times 0.7 + 0.05 \times 0.3\)
\(P(D) = 0.021 + 0.015 = 0.036\)
\(P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)}\)
\(P(A|D) = \frac{0.03 \times 0.7}{0.036} = \frac{0.021}{0.036} \approx 0.583\)
La probabilité qu'une pièce défectueuse vienne de la machine A est d'environ 58.3%
• Formule de Bayes : \(P(A|D) = \frac{P(D|A) \cdot P(A)}{P(D)}\)
• Probabilités totales : \(P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)\)
• Conditionnement inverse : Identifier la cause à partir de l'effet
Expérience aléatoire composée : Situation où une expérience détermine les conditions d'une autre expérience. Ici, le résultat du dé détermine l'urne dans laquelle on tire la boule.
- Définir les événements : P (pair), I (impair), R (rouge)
- Calculer P(P) et P(I) (résultats du dé)
- Calculer P(R|P) et P(R|I) (probabilités dans chaque urne)
- Appliquer la formule des probabilités totales : P(R) = P(R|P)×P(P) + P(R|I)×P(I)
Lancer de dé équilibré : P(pair) = P(impaire) = 1/2
Urn U₁ (3R, 2B) : P(R|pair) = 3/5
Urn U₂ (1R, 4B) : P(R|impair) = 1/5
\(P(R) = P(R \cap \text{pair}) + P(R \cap \text{impair})\)
\(P(R) = P(R|\text{pair}) \cdot P(\text{pair}) + P(R|\text{impair}) \cdot P(\text{impair})\)
\(P(R) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \times \frac{1}{2}\)
\(P(R) = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
La probabilité de tirer une boule rouge est de \(\frac{2}{5}\) ou 40%
• Probabilités totales : \(P(R) = \sum P(R|A_i)P(A_i)\)
• Conditionnement : La probabilité dépend de l'événement antérieur
• Expérience composée : Plusieurs étapes d'aléas successifs
- Arbre pondéré : Dessiner toutes les branches possibles avec leurs probabilités
- Formule des probabilités totales : \(P(B) = \sum P(B|A_i)P(A_i)\)
- Formule de Bayes : \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\)
- Produit des probabilités : Sur un chemin de l'arbre, multiplier les probabilités
- \(0 \leq P(A|B) \leq 1\) pour toute probabilité conditionnelle
- \(P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)\)
- Si A et B sont indépendants, alors \(P(A|B) = P(A)\)
- Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches
