Variable aléatoire : Une variable aléatoire X est une fonction qui, à chaque issue possible d'une expérience aléatoire, associe un nombre réel. Elle modélise une grandeur numérique liée à l'expérience.
- Déterminer l'univers Ω (ensemble de toutes les issues possibles)
- Déterminer les valeurs prises par X
- Calculer la probabilité de chaque valeur prise par X
- Calculer l'espérance et la variance
Ω = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}, card(Ω) = 36
X est la somme des faces : X(ω) = face₁ + face₂
X(Ω) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
| k | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X=k) | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 |
\(E(X) = \sum_{k=2}^{12} k \cdot P(X=k)\)
\(E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + ... + 12 \cdot \frac{1}{36} = 7\)
\(E(X^2) = \sum_{k=2}^{12} k^2 \cdot P(X=k)\)
\(E(X^2) = 4 \cdot \frac{1}{36} + 9 \cdot \frac{2}{36} + ... + 144 \cdot \frac{1}{36} = \frac{329}{6}\)
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{329}{6} - 49 = \frac{35}{6}\)
Loi de probabilité donnée dans le tableau ci-dessus. Espérance = 7, Variance = 35/6, Écart-type ≈ 2.41
• Définition : X : Ω → ℝ, ω ↦ X(ω)
• Espérance : \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
• Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
Loi de probabilité : Ensemble des couples (xᵢ, P(X = xᵢ)) pour toutes les valeurs xᵢ prises par la variable aléatoire X. La somme des probabilités doit valoir 1.
- Déterminer l'univers des possibles
- Identifier les valeurs prises par X
- Calculer la probabilité de chaque valeur en comptant les cas favorables
- Vérifier que la somme des probabilités vaut 1
On tire 2 boules parmi 5 (3R, 2V), donc X = nombre de rouges ∈ {0, 1, 2}
X = 0 signifie "obtenir 0 rouge", donc 2 vertes
\(P(X = 0) = \frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}\)
X = 1 signifie "obtenir 1 rouge et 1 verte"
\(P(X = 1) = \frac{C_3^1 \cdot C_2^1}{C_5^2} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10}\)
X = 2 signifie "obtenir 2 rouges"
\(P(X = 2) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10}\)
\(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = 1\) ✓
Loi de X : P(X=0) = 1/10, P(X=1) = 6/10, P(X=2) = 3/10
• Combinaisons : \(C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}\)
• Probabilité : \(\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Loi de probabilité : \(\sum P(X = x_i) = 1\)
Gain net : Différence entre les gains reçus et les coûts engagés. La variable aléatoire du gain net permet d'évaluer la rentabilité d'un jeu.
- Déterminer toutes les issues possibles et leurs gains nets
- Calculer la probabilité de chaque gain net
- Déterminer la loi de probabilité
- Calculer l'espérance pour évaluer le jeu
• Obtenir 6 au 1er lancer : gain net = 20 - 5 = 15€
• Obtenir 6 au 2ème mais pas au 1er : gain net = 10 - 5 = 5€
• Autres cas : gain net = 0 - 5 = -5€
\(P(\text{gain net} = 15) = P(6 \text{ au 1er}) = \frac{1}{6}\)
\(P(\text{gain net} = 5) = P(\text{pas 6 au 1er}) \cdot P(6 \text{ au 2ème}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}\)
\(P(\text{gain net} = -5) = 1 - \frac{1}{6} - \frac{5}{36} = \frac{25}{36}\)
\(E(X) = 15 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{5}{36} + (-5) \cdot \frac{25}{36}\)
\(E(X) = \frac{90}{36} + \frac{25}{36} - \frac{125}{36} = -\frac{10}{36} = -\frac{5}{18}\)
\(E(X) = -\frac{5}{18} \approx -0.28\)€
En moyenne, on perd environ 28 centimes par partie.
Le gain net moyen est de -5/18 € ≈ -0.28€ par partie. Le jeu est défavorable au joueur.
• Gain net : Gain reçu - coût engagé
• Espérance : Indicateur de rentabilité d'un jeu
• Événements indépendants : \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Paramètres d'une variable aléatoire : Espérance (moyenne théorique), variance (dispersion autour de la moyenne), écart-type (unité de mesure de la dispersion).
- Vérifier que la loi de probabilité est valide (somme = 1)
- Calculer E(X) avec la formule de l'espérance
- Calculer E(X²) pour ensuite trouver la variance
- Déduire l'écart-type
\(P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.1 = 1\) ✓
\(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
\(E(X) = 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.1\)
\(E(X) = 0.2 + 0.6 + 1.2 + 0.4 = 2.4\)
\(E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)\)
\(E(X^2) = 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.4 + 4^2 \cdot 0.1\)
\(E(X^2) = 1 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.1\)
\(E(X^2) = 0.2 + 1.2 + 3.6 + 1.6 = 6.6\)
\(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
\(V(X) = 6.6 - (2.4)^2 = 6.6 - 5.76 = 0.84\)
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0.84} \approx 0.92\)
Espérance = 2.4, Variance = 0.84, Écart-type ≈ 0.92
• Espérance : \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
• Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
• Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
Gain algébrique : Variable aléatoire prenant des valeurs positives (gains) et négatives (pertes). L'espérance permet d'évaluer la rentabilité globale du jeu.
- Déterminer les issues possibles et leurs gains
- Associer un gain algébrique à chaque issue
- Calculer les probabilités correspondantes
- Déterminer la loi de probabilité et calculer l'espérance
• Résultat pair (2,4,6) : gain = +10€
• Résultat impair (1,3,5) : gain = -5€
\(P(Y = 10) = P(\text{résultat pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(P(Y = -5) = P(\text{résultat impair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
\(E(Y) = 10 \cdot \frac{1}{2} + (-5) \cdot \frac{1}{2}\)
\(E(Y) = 5 - 2.5 = 2.5\)
\(E(Y) = 2.5\)€
En moyenne, le joueur gagne 2.50€ par partie.
Loi de Y : P(Y=10) = 1/2, P(Y=-5) = 1/2. Espérance = 2.5€. Le jeu est favorable au joueur.
• Gain algébrique : Positif pour gain, négatif pour perte
• Espérance positive : Jeu favorable au joueur
• Espérance négative : Jeu défavorable au joueur
- Détermination de la loi : Identifier les valeurs prises et leur probabilité
- Espérance : \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\)
- Variance : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
- Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)
- \(\sum P(X = x_i) = 1\) pour toute loi de probabilité
- \(V(X) \geq 0\) toujours
- \(E(aX + b) = aE(X) + b\) pour a, b réels
- \(V(aX + b) = a^2V(X)\) pour a, b réels
- Si E(X) > 0, le jeu est favorable au joueur
