Définition mathématique
Définition:
\( X: \Omega \to \mathbb{R} \) telle que \( \forall x \in \mathbb{R}, \{X = x\} \in \mathcal{A} \)
\( X: \Omega \to \mathbb{R} \) telle que \( \forall x \in \mathbb{R}, \{X = x\} \in \mathcal{A} \)
Notation:
\( \{X = x\} = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = x\} \)
\( \{X = x\} = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = x\} \)
Exemple :
Lancer de deux dés
X = somme des faces
X(1,1)=2, X(1,2)=3, ..., X(6,6)=12
X est une variable aléatoire
X = somme des faces
X(1,1)=2, X(1,2)=3, ..., X(6,6)=12
X est une variable aléatoire
Caractéristiques
Application de Ω dans ℝ
Associe un réel à chaque issue possible
Les événements {X = x} sont mesurables
Permet de quantifier des résultats aléatoires
Types de variables aléatoires
Discrète: Prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs
Continue: Peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle
À densité: Variable continue avec fonction de densité
Méthodes & Conseils
Identifier l'univers Ω de l'expérience
Déterminer les valeurs possibles de X
Exprimer X(ω) pour chaque ω ∈ Ω
Vérifier que {X = x} est un événement
Donner la loi de probabilité de X
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Confondre variable aléatoire et sa loi de probabilité
Erreur 2 :
Oublier de préciser l'univers Ω
Erreur 3 :
Ne pas vérifier que X est bien définie sur Ω
Erreur 4 :
Confondre X(ω) et P(X = x)
Exemples concrets
Lancer de pièce: X = 1 si pile, 0 si face
Dés: X = nombre obtenu sur un dé
Gain jeu: X = gain algébrique
Temps d'attente: X = nombre d'essais avant succès
Notation et vocabulaire
Notations :
{X = a}: événement "X prend la valeur a"
{X ≤ a}: événement "X est inférieure ou égale à a"
{a ≤ X ≤ b}: événement "X est comprise entre a et b"
{X ≤ a}: événement "X est inférieure ou égale à a"
{a ≤ X ≤ b}: événement "X est comprise entre a et b"
Vocabulaire :
Réalisation: valeur prise par X lors d'une expérience
Support: ensemble des valeurs possibles de X
Loi de X: distribution des probabilités des valeurs de X
Support: ensemble des valeurs possibles de X
Loi de X: distribution des probabilités des valeurs de X
